Fungsi Komposisi

Teman-teman kelas 10 pasti sudah tidak asing lagi dengan kata Fungsi, karena materi ini pernah dipelajari saat teman-teman duduk di bangku SMP. Nah, di bangku SMA, kalian akan mempelajarinya lebih dalam. Mari kita simak materi fungsi komposisi berikut ini.

Pengertian Fungsi dan Fungsi Komposisi

Jadi, apa itu Fungsi?

Fungsi merupakan relasi himpunan A ke himpunan B, dimana setiap anggota himpunan A berpasangan dengan satu anggota himpunan B.

Namun, apabila terdapat dua fungsi digabungkan, maka akan terbentuklah fungsi baru. Fungsi baru inilah yang kemudian disebut dengan Fungsi Komposisi.

Dengan kata lain, Fungsi Komposisi, merupakan penggabungan operasi pada dua jenis fungsi yaitu fungsi f(x) dan g(x) sehingga fungsi baru akan dihasilkan. Biasanya, fungsi komposisi dilambangkan dengan “o” yang berarti bundaran atau komposisi.

Seperti yang sudah dijelaskan diatas, fungsi baru dapat terbentuk apabila dua fungsi, f(x) dan g(x) digabungkan. Fungsi baru ini berbentuk:

• (f o g)(x) = fungsi g dimasukkan ke fungsi f

Pada jenis fungsi ini, fungsi g dikerjakan terlebih dahulu, lalu dilanjutkan dengan fungsi f.

• (g o f)(x) = fungsi f dimasukkan ke fungsi g

Pada jenis fungsi ini, fungsi f lah yang dikerjakan terlebih dahulu, baru dilanjutkan dengan fungsi g.

Rumus Fungsi Komposisi 

• (f o g)(x) = fungsi g dimasukkan ke fungsi f
• (g o f)(x) = fungsi f dimasukkan ke fungsi g

Sifat-Sifat Fungsi Komposisi

• Penyelesaian fungsi (f o g) (x) tidak sama dengan funsgi (g o f) (x), karena tidak berlaku sifat komutatif
• Untuk rumus fungsi [f o (g o h)(x) ] dan fungsi [(f o g) o h (x)] bersifat asosiatif
• Rumus fungsi (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x) berlaku apabila fungsi identitas I(x)

Baca Juga : Turunan Fungsi Aljabar

Contoh Soal Fungsi Komposisi

Berikut merupakan contoh-contoh soal fungsi komposisi beserta penyelesaiannya:

SOAL 1

Diketahui fungsi:

f (x) = 4x + 6

g (x) = 4 – x

Tentukanlah:

1. (f ₒ g) (x)
2. (g ₒ f) (x)

Jawaban

1. (f ₒ g)(x)

Untuk fungsi komposisi ini, langkah penyelesaiannya adalah dengan memasukkan fungsi g(x) ke fungsi f(x). Sehingga menjadi: 

(f ₒ g)(x) = f(g(x))

Karena g (x) = 4–x, maka:

f (g(x)) = f (4−x), dengan kata lain

f (x) = f (4–x), ini adalah fungsi baru gabungan dari fungsi g (x) dimasukkan ke f (x)

Setelah menyelesaikan persoalan g (x), maka selanjutnya adalah persoalan f (x) dengan menggunakan fungsi komposisi yang baru. Berikut penyelesaiannya:

Karena fungsi baru f (x) = f (4-x), maka

f (x) = 4x + 6

f (x) = 4 (4−x) + 6

f (x) = 16−4x + 6

f (x) = −4x + 22

2. (g ₒ f ) (x)

Untuk fungsi komposisi ini, langkah penyelesaiannya adalah dengan masukkan fungsi f(x) ke fungsi g(x). Sehingga menjadi:

(fₒg)(x) = g(f(x))

Karena f (x) = 4x + 6, maka:

g ( f(x) ) = g (4x + 6), dengan kata lain

g (x) = g (4x + 6), ini adalah fungsi baru gabungan dari fungsi f (x) dimasukkan ke g (x)

Setelah menyelesaikan persoalan f (x), maka selanjutnya persoalan adalah g (x) dengan menggunakan fungsi komposisi yang baru, berikut penyelesaiannya:

Karena fungsi baru g (x)  = g (4x + 6), maka

g (x) = 4 –x

g (x) = 4 − (4x + 6)

g (x) = 4 − 4x − 6

g (x) = − 4x –2

SOAL 2

Diketahui:

f (x) = 2x – 1

g (x) = 4x² + 2

Ditanya:

Nilai dari komposisi fungsi (g ₒ f)(2) =….?

A. 12

B. 38

C. 72

D. 53

E. 19

Jawaban:

Karena yang ditanyakan, (g ₒ f ) (2), maka masukkanlah f (x) nya pada g (x) terlebih dahulu 

Fungsi awal g(x) 4x² + 2

Setelah f(x) dimasukkan ke g(x), jadi g(x) = 4 (2x – 1)² + 2

(g ₒ f) (x) = 4 (2x − 1)² + 2

(g ₒ f) (x) = 4 (4x² − 4x + 1) + 2

(g ₒ f) (x) = 16x² − 16x + 4 + 2

(g ₒ f) (x) = 16x² − 16x + 6

Setelah mendapatkan komposisi fungsi baru, masukkan angka 2 sebagai x, seperti yang diminta oleh soal (gₒf)(2), sehingga

(g ₒ f) (x) = 16x² − 16x + 6

(g ₒ f) (1) = 16(2)² − 16(2) + 6 = 38

SOAL 3

Diberi dua buah fungsi:

f (x) = 2x − 3

g (x) = x² + 4x + 5

Apabila (f ₒ g)(a) = 31, tentukanlah nilai dari 6a

Jawaban:

Carilah terlebih dahulu (f ₒ g)(x)

(f ₒ g)(x) = 2(x² + 4x + 5) − 3

(f ₒ g)(x) = 2x² + 8x + 10 − 3

(f ₒ g)(x) = 2x² + 8x + 7 

(f ₒ g)(a) = 31, dan (f ₒ g)(x) = 2x² + 8x + 7, maka

2(a²) + 8a + 7 = 31

2(a²) + 8a − 24 = 0

a² + 4a – 12 = 0

Langkah selanjutnya adalah, faktorkan: 

a² + 4a – 12 = 0

(a + 6)(a − 2) = 0

a = −6 ataupun a = 2

Sehingga nilai dari 6a adalah

6a = 6(−6) = −36 atau 6a = 6(2) = 12

Penerapan Fungsi Komposisi dalam Kehidupan Sehari-hari: 

1. Proses daur ulang logam, yaitu:

• Pecahan logam campuran diolah menjadi serpihan-serpihan logam kecil
• Lalu, Drum Magnetic dalam mesin penghancur akan menyisihkan logam magnetik yang memuat unsur besi.
• Kemudian, sisa dari pecahan logam dikeruk dan dipisahkan. Sedangkan serpihan besi yang telah dipisahkan akan dilebur menjadi baja baru.

2. Proses pembuatan buku melalui 2 tahap proses, yaitu:

• Tahap editorial yang kemudian dilanjutkan dengan tahap produksi
• Dalam tahap editorial, naskah akan diedit serta di layout menjadi file yang siap untuk dicetak
• Setelah itu, file yang telah dicetak dan diberi layout akan diolah dalam tahap produksi dengan mencetaknya menjadi buku