1. Kelas 11 Matematika

Induksi Matematika

Halo teman-teman Studioliterasi! Kali ini kita kembali lagi dengan materi matematika nih. Materi kali ini cukup seru untuk dipelajari, yaitu Induksi Matematika. Teori ini sangat berperan penting dalam membuktikan sebuah pernyataan atau rumus matematika. Kira-kira seperti apa sih cara pembuktiannya? Yuk, kita simak bersama-sama pengertian serta prinsip Induksi Matematika yang telah kami rangkum dibawah ini.

Pengertian Induksi Matematika

Induksi Matematika merupakan salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah secara deduktif. Dimana merupakan suatu proses untuk menarik suatu kesimpulan berdasar pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga untuk pernyataan khusus atau tertentu juga dapat berlaku benar. Induksi matematika merupakan perluasan dari logika matematika. Yang dalam penerapannya, logika matematika juga digunakan untuk mempelajari pernyataan yang bernilai benar atau salah.

Prinsip Induksi Matematika

Misalkan P(n) adalah pernyataan yang memuat bilangan asli, maka P(n) dapat dibuktikan benar untuk semua bilangan asli n, dengan mengikuti langkah-langkah induksi matematika.

Berikut ini merupakan langkah-langkah dalam pembuktiannya.

Artikel Terkait

[feedzy-rss feeds='https://museumnusantara.com/feed/,https://studioliterasi.com/feed/' max='4' multiple_meta='yes' template='default']
  1. Langkah awal : P(1) adalah pernyataan benar, berarti untuk n = 1, maka P(n) adalah bernilai benar.
  2. Langkah induksi : Apabila P(k) benar, maka P(k + 1) benar untuk setiap k adalah bilangan asli.

Apabila langkah (1) dan (2) benar, maka dapat disimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap n adalah bilangan asli.

Pembuktian Induksi Matematika pada Deret Bilangan

Pada deret bilangan, biasanya persoalan induksi matematika dalam bentuk penjumlahan yang beruntun. Sehingga, harus dibuktikan kebenarannya pada suku pertama, suku ke-k dan suku ke-(k + 1).

Contoh soal deret bilangan

  1. Buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)  = n² bernilai benar untuk setiap n bilangan asli.

Pembahasan : 

P(n) = 1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n²

Langkah awal :

Misalkan n = 1, maka

P₁ : 1 = 1²

Jadi, P₁ benar.

Langkah induksi :

Misal P(k) = 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) = k²

Asumsikan bahwa pernyataan tersebut bernilai benar, maka P(k+1) juga benar, yaitu

P(k+1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)²

Hasil asumsi :

1 + 3 + 5 + … + (2k-1) = k²

Tambahkan kedua ruas dengan U(k+1)

1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = k² + (2k+1)

1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = k² + 2k + 1

1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)² 

Maka, P(k+1) benar.

Pembuktian Induksi Matematika pada Keterbagian

Jenis ini biasa kita temukan pada soal yang mengandung kalimat sebagai berikut :

  1. a habis dibagi b
  2. b membagi a
  3. b faktor dari a
  4. a kelipatan b

Ciri tersebut menunjukan bahwa pernyataan tersebut dapat diselesaikan menggunakan induksi matematika jenis pembagian.

Hal yang perlu diingat adalah, apabila a habis dibagi b maka a = b.m, dimana m merupakan bilangan bulat.

Contoh soal keterbagian

  1. Buktikan jika n³ + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli.

Pembahasan :

P(n) = n³ + 2n dapat habis dbagi 3

Langkah awal :

Misal n = 1, maka

P₁ : 1³ + 2.1 = 3

Jadi, P₁ benar.

Langkah induksi :

Misal  P(k) = k³ + 2k habis dibagi 3

Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar , maka P(k+1) juga benar, yaitu 

(k + 1)³ + 2(k + 1) habis dibagi 3

Hasil asumsi :

Hasil asumsi

Karena pada langkah sebelumnya sudah diketahui bahwa k³ + 2k habis dibagi 3 dan 3(k2 + k + 1) juga habis dibagi 3, maka (k3 + 2k) + 3(k2 + k + 1) pasti habis dibagi 3.

Jadi, benar.

Pembuktian Induksi Matematika pada Ketidaksamaan

Jenis ketidaksamaan ini ditandai dengan tanda lebih dari atau kurang dari dalam pernyataannya. Sifat-sifat yang sering digunakan untuk pernyataan jenis pertidaksamaan adalah sebagai berikut :

  1. a < b < ca < c atau a > b > ca > c
  2. a > b  ⇒ a + c > b + c atau a < b  ⇒ a + c < b + c

Contoh soal ketidaksamaan

  1. Buktikanlah untuk setiap bilangan asli n ≥ 2 berlaku 3n > 1 + 2n

Pembahasan :

P(n) = 3n > 1 + 2n

Langkah awal :

Misal n = 2, maka

P₁ : 32 = 9 > 1 + 2.2 = 5

Jadi, P₁ benar.

Langkah induksi :

Misal P(k) = 3k > 1 + 2k,    k ≥ 2

Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar, maka P(k + 1) juga benar, yaitu

3k+1 > 1 + 2(k + 1)

Asumsi benar

Jadi, n=(k + 1) benar.

Rumus Induksi Matematika

Dapat disimpulkan dari penjelasan sebelumnya bahwa langkah untuk pembuktian induksi matematika dapat dilakukan dengan cara seperti berikut :

  1. Langkah awal : Menunjukan bahwa P(1) adalah benar.
  2. Langkah induksi : Mengasumsikan bahwa P(k) adalah benar untuk k bilangan asli, lalu menunjukan P(k + 1) juga benar berdasarkan asumsi tersebut.
  3. Kesimpulan : P(n) adalah benar untuk masing-masing bilangan asli n.

Gimana sobat Studioliterasi? Sudah mulai paham kan? Semoga setelah membaca dan mempelajari materi ini kalian bisa lebih paham dan bisa mengerjakan soal tentang induksi matematika.

Baca Juga: Barisan dan Deret oleh Studio Literasi

Tidak ada komentar
Komentar untuk: Induksi Matematika

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

ARTIKEL TERBARU

Dalam akuntansi pencatatan transaksi dapat menggunakan dua jenis jurnal yakni jurnal khusus dan jurnal umum. Kali ini Studio Literasi akan membahas secara rinci mengenai perbedaan jurnal khusus dan umum lengkap dengan jenis jurnalnya. Penasaran? Yuk kita bahas bersama.  Perbedaan Jurnal Umum dan Jurnal Khusus Ketika Kawan Literasi akan melakukan pencatatan yang dilengkapi dengan bukti transaksi […]

Trending

Ketika Kawan Literasi menyatakan rasa setuju dan tidak setuju maka dalam hal ini di bahasa inggris merupakan ekspresi dari agreement dan disagreement. Hal ini merupakan sesuatu yang lumrah kita temui dalam kehidupan sehari. Kawan Literasi penasaran dengan bagaimana cara penggunaannya? Berikut pembahasannya secara lengkap di studio Literasi.  Pengertian Agreement and Disagreement Expression of agreement adalah […]
Salah satu proses seleksi mendapatkan beasiswa adalah membuat essay yang baik dan benar. Biasanya isi essay akan mencakup isu dan bagaimana penulis menyampaikan argumennya melalui dua sisi. Bagi Kawan Literasi yang penasaran bagaimana contoh essay beasiswa yang baik, berikut penjelasan lengkapnya di Studio Literasi.  Apa itu Esai? Sebelum kita masuk ke contoh essay beasiswa yang […]
Beasiswa merupakan bantuan dana yang pada saat ini telah membantu berbagai siswa dan mahasiswa untuk melanjutkan pendidikan. Ada berbagai program beasiswa yang ditawarkan oleh pemerintah dan perusahaan swasta untuk memberikan bantuan dana untuk menutupi biaya studi, akomodasi, dan uang saku. Berikut penjelasan lengkapnya tentang beasiswa di Studio Literasi.  Pengertian Beasiswa Menurut KBBI, beasiswa adalah bantuan […]
Dalam kehidupan berbangsa dan bernegara sudah pasti menginginkan negaranya utuh dan memiliki rasa persatuan yang kuat. Integrasi nasional berpengaruh dalam pembangunan dan kemakmuran suatu bangsa. Berikut ini Studio Literasi rangkum mengenai integrasi nasional dan faktor-faktor pembentuk integrasi nasional secara lengkap yang bisa Kawan Literasi simak.  Apa itu Integrasi Nasional? Dikutip Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI), […]