Halo teman-teman Studioliterasi! Kali ini kita kembali lagi dengan materi matematika nih. Materi kali ini cukup seru untuk dipelajari, yaitu Induksi Matematika. Teori ini sangat berperan penting dalam membuktikan sebuah pernyataan atau rumus matematika. Kira-kira seperti apa sih cara pembuktiannya? Yuk, kita simak bersama-sama pengertian serta prinsip Induksi Matematika yang telah kami rangkum dibawah ini.
Pengertian Induksi Matematika
Induksi Matematika merupakan salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah secara deduktif. Dimana merupakan suatu proses untuk menarik suatu kesimpulan berdasar pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga untuk pernyataan khusus atau tertentu juga dapat berlaku benar. Induksi matematika merupakan perluasan dari logika matematika. Yang dalam penerapannya, logika matematika juga digunakan untuk mempelajari pernyataan yang bernilai benar atau salah.
Prinsip Induksi Matematika
Misalkan P(n) adalah pernyataan yang memuat bilangan asli, maka P(n) dapat dibuktikan benar untuk semua bilangan asli n, dengan mengikuti langkah-langkah induksi matematika.
Berikut ini merupakan langkah-langkah dalam pembuktiannya.
- Langkah awal : P(1) adalah pernyataan benar, berarti untuk n = 1, maka P(n) adalah bernilai benar.
- Langkah induksi : Apabila P(k) benar, maka P(k + 1) benar untuk setiap k adalah bilangan asli.
Apabila langkah (1) dan (2) benar, maka dapat disimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap n adalah bilangan asli.
Artikel Terkait
- Mengenal Makanan Haram dalam Islam Beserta Contohnyaby Siti Haliza (Studio Literasi) on Januari 26, 2023 at 10:52 am
Kawan Literasi tentunya sudah paham, bahwa dalam ajaran Islam tidak semua jenis makanan diperbolehkan untuk dikonsumsi. Ada tuntunan tentang hukum halal dan haramnya sebuah makanan yang kita konsumsi. Lantas, apa saja yang termasuk makanan haram dan apa pula bahayanya? Temukan jawabannya pada artikel berikut ini, yuk! Makanan Haram dalam Islam Makan haram dalam Islam perlu Artikel <strong>Mengenal Makanan Haram dalam Islam Beserta Contohnya</strong> pertama kali tampil pada Studio Literasi.
- Mengenal Peninggalan Kerajaan Ternate Paling Terkenalby Siti Haliza (Museum Nusantara – Info Wisata Sejarah Indonesia) on Januari 24, 2023 at 2:31 pm
Indonesia memiliki banyak sekali peninggalan bersejarah. Beberapa peninggalan berasal dari zaman kerajaan, tidak terkecuali Kerajaan Ternate. Museum Nusantara kali ini akan membahas tentang beberapa peninggalan Kerajaan Ternate yang paling terkenal. Simak informasi selengkapnya di bawah ini! Sejarah Singkat Kerajaan Ternate Kerajaan Ternate adalah salah satu kerajaan Islam tertua yang berdiri sejak abad ke-13 di Indonesia. The post <strong>Mengenal Peninggalan Kerajaan Ternate Paling Terkenal</strong> appeared first on Museum Nusantara - Info Wisata Sejarah Indonesia.
- Pengertian Besaran Pokok & Jenis-jenisnya dalam Fisikaby Siti Haliza (Studio Literasi) on Januari 16, 2023 at 7:57 am
Dalam melakukan pengukuran fisika, kita terlebih dahulu harus paham mengenai konsep besaran dan satuan. Besaran sendiri berdasarkan satuannya terbagi menjadi besaran pokok dan besaran turunan. Pada pembahasan kali ini, Studio Literasi akan membahas besaran pokok. Mari kita simak artikel berikut! Besaran, Satuan, dan Dimensi dalam Fisika Sebelum memulai ke pembahasan mengenai besaran pokok, ada baiknya Artikel <strong>Pengertian Besaran Pokok & Jenis-jenisnya dalam Fisika</strong> pertama kali tampil pada Studio Literasi.
- Kenali Sejarah & Properti Tari Topeng Cirebon yang Melegendaby Siti Haliza (Museum Nusantara – Info Wisata Sejarah Indonesia) on Januari 13, 2023 at 6:00 am
Indonesia memiliki banyak sekali tari tradisional. Beberapa diantaranya bahkan masih dipertunjukkan sampai saat ini. Salah satunya adalah tari topeng Cirebon. Pada kesempatan kali ini, Museum Nusantara akan membahas tentang sejarah dan properti tari topeng Cirebon. Simak penjelasan selengkapnya di bawah ini! Sejarah Tari Topeng Cirebon Tari topeng Cirebon merupakan salah satu tarian tradisional yang berasal The post <strong>Kenali Sejarah & Properti Tari Topeng Cirebon yang Melegenda</strong> appeared first on Museum Nusantara - Info Wisata Sejarah Indonesia.
Pembuktian Induksi Matematika pada Deret Bilangan
Pada deret bilangan, biasanya persoalan induksi matematika dalam bentuk penjumlahan yang beruntun. Sehingga, harus dibuktikan kebenarannya pada suku pertama, suku ke-k dan suku ke-(k + 1).
Contoh soal deret bilangan
- Buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n² bernilai benar untuk setiap n bilangan asli.
Pembahasan :
P(n) = 1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n²
Langkah awal :
Misalkan n = 1, maka
P₁ : 1 = 1²
Jadi, P₁ benar.
Langkah induksi :
Misal P(k) = 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) = k²
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut bernilai benar, maka P(k+1) juga benar, yaitu
P(k+1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)²
Hasil asumsi :
1 + 3 + 5 + … + (2k-1) = k²
Tambahkan kedua ruas dengan U(k+1)
1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = k² + (2k+1)
1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = k² + 2k + 1
1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)²
Maka, P(k+1) benar.
Pembuktian Induksi Matematika pada Keterbagian
Jenis ini biasa kita temukan pada soal yang mengandung kalimat sebagai berikut :
- a habis dibagi b
- b membagi a
- b faktor dari a
- a kelipatan b
Ciri tersebut menunjukan bahwa pernyataan tersebut dapat diselesaikan menggunakan induksi matematika jenis pembagian.
Hal yang perlu diingat adalah, apabila a habis dibagi b maka a = b.m, dimana m merupakan bilangan bulat.
Contoh soal keterbagian
- Buktikan jika n³ + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli.
Pembahasan :
P(n) = n³ + 2n dapat habis dbagi 3
Langkah awal :
Misal n = 1, maka
P₁ : 1³ + 2.1 = 3
Jadi, P₁ benar.
Langkah induksi :
Misal P(k) = k³ + 2k habis dibagi 3
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar , maka P(k+1) juga benar, yaitu
(k + 1)³ + 2(k + 1) habis dibagi 3
Hasil asumsi :
Karena pada langkah sebelumnya sudah diketahui bahwa k³ + 2k habis dibagi 3 dan 3(k2 + k + 1) juga habis dibagi 3, maka (k3 + 2k) + 3(k2 + k + 1) pasti habis dibagi 3.
Jadi, benar.
Pembuktian Induksi Matematika pada Ketidaksamaan
Jenis ketidaksamaan ini ditandai dengan tanda lebih dari atau kurang dari dalam pernyataannya. Sifat-sifat yang sering digunakan untuk pernyataan jenis pertidaksamaan adalah sebagai berikut :
- a < b < c ⇒ a < c atau a > b > c ⇒ a > c
- a > b ⇒ a + c > b + c atau a < b ⇒ a + c < b + c
Contoh soal ketidaksamaan
- Buktikanlah untuk setiap bilangan asli n ≥ 2 berlaku 3n > 1 + 2n
Pembahasan :
P(n) = 3n > 1 + 2n
Langkah awal :
Misal n = 2, maka
P₁ : 32 = 9 > 1 + 2.2 = 5
Jadi, P₁ benar.
Langkah induksi :
Misal P(k) = 3k > 1 + 2k, k ≥ 2
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar, maka P(k + 1) juga benar, yaitu
3k+1 > 1 + 2(k + 1)
Jadi, n=(k + 1) benar.
Rumus Induksi Matematika
Dapat disimpulkan dari penjelasan sebelumnya bahwa langkah untuk pembuktian induksi matematika dapat dilakukan dengan cara seperti berikut :
- Langkah awal : Menunjukan bahwa P(1) adalah benar.
- Langkah induksi : Mengasumsikan bahwa P(k) adalah benar untuk k bilangan asli, lalu menunjukan P(k + 1) juga benar berdasarkan asumsi tersebut.
- Kesimpulan : P(n) adalah benar untuk masing-masing bilangan asli n.
Gimana sobat Studioliterasi? Sudah mulai paham kan? Semoga setelah membaca dan mempelajari materi ini kalian bisa lebih paham dan bisa mengerjakan soal tentang induksi matematika.
Baca Juga: Barisan dan Deret oleh Studio Literasi
