1. Kelas 11 Matematika

Induksi Matematika

Halo teman-teman Studioliterasi! Kali ini kita kembali lagi dengan materi matematika nih. Materi kali ini cukup seru untuk dipelajari, yaitu Induksi Matematika. Teori ini sangat berperan penting dalam membuktikan sebuah pernyataan atau rumus matematika. Kira-kira seperti apa sih cara pembuktiannya? Yuk, kita simak bersama-sama pengertian serta prinsip Induksi Matematika yang telah kami rangkum dibawah ini.

Pengertian Induksi Matematika

Induksi Matematika merupakan salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah secara deduktif. Dimana merupakan suatu proses untuk menarik suatu kesimpulan berdasar pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga untuk pernyataan khusus atau tertentu juga dapat berlaku benar. Induksi matematika merupakan perluasan dari logika matematika. Yang dalam penerapannya, logika matematika juga digunakan untuk mempelajari pernyataan yang bernilai benar atau salah.

Prinsip Induksi Matematika

Misalkan P(n) adalah pernyataan yang memuat bilangan asli, maka P(n) dapat dibuktikan benar untuk semua bilangan asli n, dengan mengikuti langkah-langkah induksi matematika.

Berikut ini merupakan langkah-langkah dalam pembuktiannya.

Artikel Terkait

  • Struktur Teks Laporan Percobaan, Ciri-Ciri dan Contohnya
    by Andira Adi Fitria (Studio Literasi) on September 17, 2023 at 11:48 am

    Teks laporan percobaan merupakan salah satu jenis teks yang ada dalam materi Bahasa Indonesia. Teks ini berfungsi untuk melaporkan percobaan yang dilakukan oleh seorang penulis. Penulisannya tentu tidak boleh asal, sebab teks ini harus menyatakan fakta hasil dari percobaan dan disusun dengan sistematis. Untuk mengetahuinya lebih jauh, simak artikel berikut hingga akhir, Kawan Literasi! Apa Artikel Struktur Teks Laporan Percobaan, Ciri-Ciri dan Contohnya pertama kali tampil pada Studio Literasi.

  • 13 Tanda Baca, Fungsi, dan Contoh Penggunaan sesuai EYD
    by Andira Adi Fitria (Studio Literasi) on September 17, 2023 at 8:38 am

    Dalam suatu kalimat, terdapat tanda baca yang biasanya digunakan. Baik itu kalimat pernyataan, kalimat tanya, atau kalimat seruan. Masing-masing menggunakan tanda baca sesuai fungsinya. Contohnya, tanda titik (.) yang umumnya digunakan untuk mengakhiri suatu kalimat berita.  Fungsi tanda baca adalah memudahkan pembaca untuk memberi jeda, mengetahui struktur suatu kalimat, dan menentukan intonasi. Lalu, bagaimana fungsi Artikel 13 Tanda Baca, Fungsi, dan Contoh Penggunaan sesuai EYD pertama kali tampil pada Studio Literasi.

  • Pencemaran Tanah: Komponen Pencemar, Dampak, dan Penanganan
    by Andira Adi Fitria (Studio Literasi) on September 17, 2023 at 2:01 am

    Pencemaran tanah terjadi jika terdapat makhluk hidup, zat, maupun komponen lain ke dalam tanah hingga kualitas tanah menurun. Biasanya pencemaran tanah kerap terjadi akibat bahan kimia buatan manusia yang merubah lingkungan tanah. Apa saja sumber pencemaran tanah, dampak, dan cara menanganinya? Untuk mengetahuinya, simak artikel Studio Literasi kali ini hingga akhir, Kawan Literasi! Pencemaran Tanah Artikel Pencemaran Tanah: Komponen Pencemar, Dampak, dan Penanganan pertama kali tampil pada Studio Literasi.

  • Konjungsi: Ketahui Jenis-Jenis hingga Contoh Penggunaannya
    by Andira Adi Fitria (Studio Literasi) on September 5, 2023 at 3:44 am

    Konjungsi lebih akrab disebut sebagai kata hubung. Konjungsi berfungsi menghubungkan dua klausa maupun frasa dalam sebuah kalimat agar saling berkesinambungan. Contoh paling umum yaitu dan, tetapi, maupun, sedangkan, dan lain sebagainya.  Namun tahukah Kawan Literasi jika konjungsi memiliki berbagai macam jenis dan penggunaannya yang berbeda? Simak artikel Studio Literasi kali ini hingga selesai untuk mengetahuinya Artikel Konjungsi: Ketahui Jenis-Jenis hingga Contoh Penggunaannya pertama kali tampil pada Studio Literasi.

  1. Langkah awal : P(1) adalah pernyataan benar, berarti untuk n = 1, maka P(n) adalah bernilai benar.
  2. Langkah induksi : Apabila P(k) benar, maka P(k + 1) benar untuk setiap k adalah bilangan asli.

Apabila langkah (1) dan (2) benar, maka dapat disimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap n adalah bilangan asli.

Pembuktian Induksi Matematika pada Deret Bilangan

Pada deret bilangan, biasanya persoalan induksi matematika dalam bentuk penjumlahan yang beruntun. Sehingga, harus dibuktikan kebenarannya pada suku pertama, suku ke-k dan suku ke-(k + 1).

Contoh soal deret bilangan

  1. Buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)  = n² bernilai benar untuk setiap n bilangan asli.

Pembahasan : 

P(n) = 1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n²

Langkah awal :

Misalkan n = 1, maka

P₁ : 1 = 1²

Jadi, P₁ benar.

Langkah induksi :

Misal P(k) = 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) = k²

Asumsikan bahwa pernyataan tersebut bernilai benar, maka P(k+1) juga benar, yaitu

P(k+1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)²

Hasil asumsi :

1 + 3 + 5 + … + (2k-1) = k²

Tambahkan kedua ruas dengan U(k+1)

1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = k² + (2k+1)

1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = k² + 2k + 1

1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)² 

Maka, P(k+1) benar.

Pembuktian Induksi Matematika pada Keterbagian

Jenis ini biasa kita temukan pada soal yang mengandung kalimat sebagai berikut :

  1. a habis dibagi b
  2. b membagi a
  3. b faktor dari a
  4. a kelipatan b

Ciri tersebut menunjukan bahwa pernyataan tersebut dapat diselesaikan menggunakan induksi matematika jenis pembagian.

Hal yang perlu diingat adalah, apabila a habis dibagi b maka a = b.m, dimana m merupakan bilangan bulat.

Contoh soal keterbagian

  1. Buktikan jika n³ + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli.

Pembahasan :

P(n) = n³ + 2n dapat habis dbagi 3

Langkah awal :

Misal n = 1, maka

P₁ : 1³ + 2.1 = 3

Jadi, P₁ benar.

Langkah induksi :

Misal  P(k) = k³ + 2k habis dibagi 3

Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar , maka P(k+1) juga benar, yaitu 

(k + 1)³ + 2(k + 1) habis dibagi 3

Hasil asumsi :

Hasil asumsi

Karena pada langkah sebelumnya sudah diketahui bahwa k³ + 2k habis dibagi 3 dan 3(k2 + k + 1) juga habis dibagi 3, maka (k3 + 2k) + 3(k2 + k + 1) pasti habis dibagi 3.

Jadi, benar.

Pembuktian Induksi Matematika pada Ketidaksamaan

Jenis ketidaksamaan ini ditandai dengan tanda lebih dari atau kurang dari dalam pernyataannya. Sifat-sifat yang sering digunakan untuk pernyataan jenis pertidaksamaan adalah sebagai berikut :

  1. a < b < ca < c atau a > b > ca > c
  2. a > b  ⇒ a + c > b + c atau a < b  ⇒ a + c < b + c

Contoh soal ketidaksamaan

  1. Buktikanlah untuk setiap bilangan asli n ≥ 2 berlaku 3n > 1 + 2n

Pembahasan :

P(n) = 3n > 1 + 2n

Langkah awal :

Misal n = 2, maka

P₁ : 32 = 9 > 1 + 2.2 = 5

Jadi, P₁ benar.

Langkah induksi :

Misal P(k) = 3k > 1 + 2k,    k ≥ 2

Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar, maka P(k + 1) juga benar, yaitu

3k+1 > 1 + 2(k + 1)

Asumsi benar

Jadi, n=(k + 1) benar.

Rumus Induksi Matematika

Dapat disimpulkan dari penjelasan sebelumnya bahwa langkah untuk pembuktian induksi matematika dapat dilakukan dengan cara seperti berikut :

  1. Langkah awal : Menunjukan bahwa P(1) adalah benar.
  2. Langkah induksi : Mengasumsikan bahwa P(k) adalah benar untuk k bilangan asli, lalu menunjukan P(k + 1) juga benar berdasarkan asumsi tersebut.
  3. Kesimpulan : P(n) adalah benar untuk masing-masing bilangan asli n.

Gimana sobat Studioliterasi? Sudah mulai paham kan? Semoga setelah membaca dan mempelajari materi ini kalian bisa lebih paham dan bisa mengerjakan soal tentang induksi matematika.

Baca Juga: Barisan dan Deret oleh Studio Literasi

Tidak ada komentar

Komentar untuk: Induksi Matematika

    Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

    ARTIKEL TERBARU

    Untuk menyelenggarakan kegiatan lingkup negara maupun daerah, pasti membutuhkan dana yang cukup besar. Oleh karena itu, Undang-Undang di Indonesia telah mengatur pengelolaan dana melalui APBN dan APBD. Meskipun sama-sama bertujuan untuk mengatur pendanaan, keduanya juga memiliki perbedaan dalam hal sumber serta fungsinya. Untuk mengetahuinya lebih jauh, simak artikel kali ini hingga selesai, ya, Kawan Literasi! […]
    Halo kawan literasi, akhirnya kita akan berjumpa lagi. By the way, pernahkah kalian membeli snack atau ice cream dari supermarket lalu terlintas kalian berpikir plastik itu terbuat dari apa? Kemudian saat kalian memasak, kalian pasti heran mengapa pegangan alat masak terasa begitu solid dan ringan? Peristiwa-peristiwa di atas merupakan contoh dari kegunaan polimer dalam kehidupan […]

    Trending

    Cause and effect merupakan salah satu jenis kalimat yang paling sering digunakan baik dalam teks maupun percakapan sehari-hari. Oleh karena itu, penting untuk kita mengetahui cara menyusun kalimat ini dengan benar. Sebagian orang pun masih melakukan kesalahan dalam menyatakan sebab dan akibat dalam bahasa Inggris.  Misalnya, “Because sick, she can’t come to school.” Klausa pertama […]
    Puisi terbagi menjadi dua jenis, yaitu puisi lama dan puisi baru. Perbedaan yang signifikan diantara keduanya yaitu pada aturan penulisannya. Puisi lama biasanya lebih kaku karena adanya aturan seperti jumlah kata dan pengulangan kata. Setiap jenisnya pun memiliki ketentuannya sendiri. Kawan Literasi pasti sudah tidak asing dengan pantun atau syair. Pantun dan syair merupakan beberapa […]
    Kerajaan Kediri dikenal dengan nama Kerajaan Panjalu. Kerajaan ini berdiri pada sekitar abad ke-12 tahun 1042-1222. Berada di tepi Sungai Brantas, Jawa Timur, dahulu kerajaan ini merupakan bagian dari Kerajaan Mataram Kuno dengan corak Hindu. Bagaimana kehidupan masa kerajaan ini berdiri dan apa penyebab keruntuhannya? Simak artikel kali ini hingga selesai! Awalnya, kerajaan ini adalah hasil […]
    Sebagai makhluk sosial, manusia tentu melakukan interaksi sosial. Nah, untuk bisa hidup dengan teratur, perlu sistem yang dapat mengaturnya, yaitu lembaga sosial. Institusi seperti sekolah, perusahaan, bahkan keluarga pun merupakan bentuk dari lembaga sosial.  Menurut Koentjaraningrat, pengertian lembaga sosial adalah sistem tata kelakuan dan relasi yang dibangun untuk memenuhi kebutuhan manusia. Kebutuhan hidup ini mencakup […]