Induksi Matematika

Halo teman-teman Studioliterasi! Kali ini kita kembali lagi dengan materi matematika nih. Materi kali ini cukup seru untuk dipelajari, yaitu Induksi Matematika. Teori ini sangat berperan penting dalam membuktikan sebuah pernyataan atau rumus matematika. Kira-kira seperti apa sih cara pembuktiannya? Yuk, kita simak bersama-sama pengertian serta prinsip Induksi Matematika yang telah kami rangkum dibawah ini.

Pengertian Induksi Matematika

Induksi Matematika merupakan salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah secara deduktif. Dimana merupakan suatu proses untuk menarik suatu kesimpulan berdasar pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga untuk pernyataan khusus atau tertentu juga dapat berlaku benar. Induksi matematika merupakan perluasan dari logika matematika. Yang dalam penerapannya, logika matematika juga digunakan untuk mempelajari pernyataan yang bernilai benar atau salah.

Prinsip Induksi Matematika

Misalkan P(n) adalah pernyataan yang memuat bilangan asli, maka P(n) dapat dibuktikan benar untuk semua bilangan asli n, dengan mengikuti langkah-langkah induksi matematika.

Berikut ini merupakan langkah-langkah dalam pembuktiannya.

1. Langkah awal : P(1) adalah pernyataan benar, berarti untuk n = 1, maka P(n) adalah bernilai benar.
2. Langkah induksi : Apabila P(k) benar, maka P(k + 1) benar untuk setiap k adalah bilangan asli.

Apabila langkah (1) dan (2) benar, maka dapat disimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap n adalah bilangan asli.

Pembuktian Induksi Matematika pada Deret Bilangan

Pada deret bilangan, biasanya persoalan induksi matematika dalam bentuk penjumlahan yang beruntun. Sehingga, harus dibuktikan kebenarannya pada suku pertama, suku ke-k dan suku ke-(k + 1).

Contoh soal deret bilangan

1. Buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)  = n² bernilai benar untuk setiap n bilangan asli.

Pembahasan : 

P(n) = 1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n²

Langkah awal :

Misalkan n = 1, maka

P₁ : 1 = 1²

Jadi, P₁ benar.

Langkah induksi :

Misal P(k) = 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) = k²

Asumsikan bahwa pernyataan tersebut bernilai benar, maka P(k+1) juga benar, yaitu

P(k+1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)²

Hasil asumsi :

1 + 3 + 5 + … + (2k-1) = k²

Tambahkan kedua ruas dengan U(k+1)

1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = k² + (2k+1)

1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = k² + 2k + 1

1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)² 

Maka, P(k+1) benar.

Pembuktian Induksi Matematika pada Keterbagian

Jenis ini biasa kita temukan pada soal yang mengandung kalimat sebagai berikut :

1. a habis dibagi b
2. b membagi a
3. b faktor dari a
4. a kelipatan b

Ciri tersebut menunjukan bahwa pernyataan tersebut dapat diselesaikan menggunakan induksi matematika jenis pembagian.

Hal yang perlu diingat adalah, apabila a habis dibagi b maka a = b.m, dimana m merupakan bilangan bulat.

Contoh soal keterbagian

1. Buktikan jika n³ + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli.

Pembahasan :

P(n) = n³ + 2n dapat habis dbagi 3

Langkah awal :

Misal n = 1, maka

P₁ : 1³ + 2.1 = 3

Jadi, P₁ benar.

Langkah induksi :

Misal  P(k) = k³ + 2k habis dibagi 3

Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar , maka P(k+1) juga benar, yaitu 

(k + 1)³ + 2(k + 1) habis dibagi 3

Hasil asumsi :

Karena pada langkah sebelumnya sudah diketahui bahwa k³ + 2k habis dibagi 3 dan 3(k² + k + 1) juga habis dibagi 3, maka (k³ + 2k) + 3(k² + k + 1) pasti habis dibagi 3.

Jadi, benar.

Pembuktian Induksi Matematika pada Ketidaksamaan

Jenis ketidaksamaan ini ditandai dengan tanda lebih dari atau kurang dari dalam pernyataannya. Sifat-sifat yang sering digunakan untuk pernyataan jenis pertidaksamaan adalah sebagai berikut :

1. a < b < c ⇒ a < c atau a > b > c ⇒ a > c
2. a > b  ⇒ a + c > b + c atau a < b  ⇒ a + c < b + c

Contoh soal ketidaksamaan

1. Buktikanlah untuk setiap bilangan asli n ≥ 2 berlaku 3ⁿ > 1 + 2n

Pembahasan :

P(n) = 3ⁿ > 1 + 2n

Langkah awal :

Misal n = 2, maka

P₁ : 3² = 9 > 1 + 2.2 = 5

Jadi, P₁ benar.

Langkah induksi :

Misal P(k) = 3^k > 1 + 2k,    k ≥ 2

Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar, maka P(k + 1) juga benar, yaitu

3^k+1 > 1 + 2(k + 1)

Jadi, n=(k + 1) benar.

Rumus Induksi Matematika

Dapat disimpulkan dari penjelasan sebelumnya bahwa langkah untuk pembuktian induksi matematika dapat dilakukan dengan cara seperti berikut :

1. Langkah awal : Menunjukan bahwa P(1) adalah benar.
2. Langkah induksi : Mengasumsikan bahwa P(k) adalah benar untuk k bilangan asli, lalu menunjukan P(k + 1) juga benar berdasarkan asumsi tersebut.
3. Kesimpulan : P(n) adalah benar untuk masing-masing bilangan asli n.

Gimana sobat Studioliterasi? Sudah mulai paham kan? Semoga setelah membaca dan mempelajari materi ini kalian bisa lebih paham dan bisa mengerjakan soal tentang induksi matematika.

Baca Juga: Barisan dan Deret oleh Studio Literasi