• Tentang Kami
  • Kebijakan Privasi
  • Hubungi
  • SMA
    • Kelas 10
    • Kelas 11
    • Kelas 12

    Kelas 10

    • Matematika
    • Biologi
    • Kimia
    • Fisika
    • Bahasa Indonesia
    • Bahasa Inggris
    • Geografi
    • Ekonomi
    • Sosiologi
    • Sejarah
    • PAI
    • Penjasorkes
    • PKN

    Kelas 11

    • Matematika
    • Biologi
    • Kimia
    • Fisika
    • Bahasa Indonesia
    • Bahasa Inggris
    • Geografi
    • Ekonomi
    • Sosiologi
    • Sejarah
    • PAI
    • Penjasorkes
    • PKN

    Kelas 12

    • Matematika
    • Biologi
    • Kimia
    • Fisika
    • Bahasa Indonesia
    • Bahasa Inggris
    • Geografi
    • Ekonomi
    • Sosiologi
    • Sejarah
    • PAI
    • Penjasorkes
    • PKN
  • SMK
  • Kuliah & Umum
    • Seleksi Masuk
    • Seputar Kuliah
    • Info Beasiswa
    • Pengetahuan Umum
No Result
View All Result
Sma Studioliterasi
No Result
View All Result
Home Kelas 11 Matematika

Induksi Matematika

Media Studioliterasi by Media Studioliterasi
Agustus 8, 2022
in Kelas 11 Matematika
1
Induksi Matematika
0
SHARES
6.4k
VIEWS
Bagikan ke FacebookBagikan ke Twitter

Halo teman-teman Studioliterasi! Kali ini kita kembali lagi dengan materi matematika nih. Materi kali ini cukup seru untuk dipelajari, yaitu Induksi Matematika. Teori ini sangat berperan penting dalam membuktikan sebuah pernyataan atau rumus matematika. Kira-kira seperti apa sih cara pembuktiannya? Yuk, kita simak bersama-sama pengertian serta prinsip Induksi Matematika yang telah kami rangkum dibawah ini.

Artikel Terkait

Materi Turunan Fungsi: Rumus, Contoh Soal, & Pembahasannya

Persamaan Trigonometri: Jenis, Rumus, & Contoh Soalnya

Persamaan Lingkaran

Turunan Fungsi Aljabar

Pengertian Induksi Matematika

Induksi Matematika merupakan salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah secara deduktif. Dimana merupakan suatu proses untuk menarik suatu kesimpulan berdasar pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga untuk pernyataan khusus atau tertentu juga dapat berlaku benar. Induksi matematika merupakan perluasan dari logika matematika. Yang dalam penerapannya, logika matematika juga digunakan untuk mempelajari pernyataan yang bernilai benar atau salah.

Prinsip Induksi Matematika

Misalkan P(n) adalah pernyataan yang memuat bilangan asli, maka P(n) dapat dibuktikan benar untuk semua bilangan asli n, dengan mengikuti langkah-langkah induksi matematika.

Berikut ini merupakan langkah-langkah dalam pembuktiannya.

  1. Langkah awal : P(1) adalah pernyataan benar, berarti untuk n = 1, maka P(n) adalah bernilai benar.
  2. Langkah induksi : Apabila P(k) benar, maka P(k + 1) benar untuk setiap k adalah bilangan asli.

Apabila langkah (1) dan (2) benar, maka dapat disimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap n adalah bilangan asli.

Artikel Terkait

  • Mengenal Makanan Haram dalam Islam Beserta Contohnya
    by Siti Haliza (Studio Literasi) on Januari 26, 2023 at 10:52 am

    Kawan Literasi tentunya sudah paham, bahwa dalam ajaran Islam tidak semua jenis makanan diperbolehkan untuk dikonsumsi. Ada tuntunan tentang hukum halal dan haramnya sebuah makanan yang kita konsumsi. Lantas, apa saja yang termasuk makanan haram dan apa pula bahayanya? Temukan jawabannya pada artikel berikut ini, yuk! Makanan Haram dalam Islam Makan haram dalam Islam perlu Artikel <strong>Mengenal Makanan Haram dalam Islam Beserta Contohnya</strong> pertama kali tampil pada Studio Literasi.

  • Mengenal Peninggalan Kerajaan Ternate Paling Terkenal
    by Siti Haliza (Museum Nusantara – Info Wisata Sejarah Indonesia) on Januari 24, 2023 at 2:31 pm

    Indonesia memiliki banyak sekali peninggalan bersejarah. Beberapa peninggalan berasal dari zaman kerajaan, tidak terkecuali Kerajaan Ternate. Museum Nusantara kali ini akan membahas tentang beberapa peninggalan Kerajaan Ternate yang paling terkenal. Simak informasi selengkapnya di bawah ini! Sejarah Singkat Kerajaan Ternate Kerajaan Ternate adalah salah satu kerajaan Islam tertua yang berdiri sejak abad ke-13 di Indonesia. The post <strong>Mengenal Peninggalan Kerajaan Ternate Paling Terkenal</strong> appeared first on Museum Nusantara - Info Wisata Sejarah Indonesia.

  • Pengertian Besaran Pokok & Jenis-jenisnya dalam Fisika
    by Siti Haliza (Studio Literasi) on Januari 16, 2023 at 7:57 am

    Dalam melakukan pengukuran  fisika, kita terlebih dahulu harus paham mengenai konsep besaran dan satuan. Besaran sendiri berdasarkan satuannya terbagi menjadi besaran pokok dan besaran turunan. Pada pembahasan kali ini, Studio Literasi akan membahas besaran pokok. Mari kita simak artikel berikut! Besaran, Satuan, dan Dimensi dalam Fisika Sebelum memulai ke pembahasan mengenai besaran pokok, ada baiknya Artikel <strong>Pengertian Besaran Pokok & Jenis-jenisnya dalam Fisika</strong> pertama kali tampil pada Studio Literasi.

  • Kenali Sejarah & Properti Tari Topeng Cirebon yang Melegenda
    by Siti Haliza (Museum Nusantara – Info Wisata Sejarah Indonesia) on Januari 13, 2023 at 6:00 am

    Indonesia memiliki banyak sekali tari tradisional. Beberapa diantaranya bahkan masih dipertunjukkan sampai saat ini. Salah satunya adalah tari topeng Cirebon. Pada kesempatan kali ini, Museum Nusantara akan membahas tentang sejarah dan properti tari topeng Cirebon. Simak penjelasan selengkapnya di bawah ini! Sejarah Tari Topeng Cirebon Tari topeng Cirebon merupakan salah satu tarian tradisional yang berasal The post <strong>Kenali Sejarah & Properti Tari Topeng Cirebon yang Melegenda</strong> appeared first on Museum Nusantara - Info Wisata Sejarah Indonesia.

Pembuktian Induksi Matematika pada Deret Bilangan

Pada deret bilangan, biasanya persoalan induksi matematika dalam bentuk penjumlahan yang beruntun. Sehingga, harus dibuktikan kebenarannya pada suku pertama, suku ke-k dan suku ke-(k + 1).

Contoh soal deret bilangan

  1. Buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)  = n² bernilai benar untuk setiap n bilangan asli.

Pembahasan : 

P(n) = 1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n²

Langkah awal :

Misalkan n = 1, maka

P₁ : 1 = 1²

Jadi, P₁ benar.

Langkah induksi :

Misal P(k) = 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) = k²

Asumsikan bahwa pernyataan tersebut bernilai benar, maka P(k+1) juga benar, yaitu

P(k+1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)²

Hasil asumsi :

1 + 3 + 5 + … + (2k-1) = k²

Tambahkan kedua ruas dengan U(k+1)

1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = k² + (2k+1)

1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = k² + 2k + 1

1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)² 

Maka, P(k+1) benar.

Pembuktian Induksi Matematika pada Keterbagian

Jenis ini biasa kita temukan pada soal yang mengandung kalimat sebagai berikut :

  1. a habis dibagi b
  2. b membagi a
  3. b faktor dari a
  4. a kelipatan b

Ciri tersebut menunjukan bahwa pernyataan tersebut dapat diselesaikan menggunakan induksi matematika jenis pembagian.

Hal yang perlu diingat adalah, apabila a habis dibagi b maka a = b.m, dimana m merupakan bilangan bulat.

Contoh soal keterbagian

  1. Buktikan jika n³ + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli.

Pembahasan :

P(n) = n³ + 2n dapat habis dbagi 3

Langkah awal :

Misal n = 1, maka

P₁ : 1³ + 2.1 = 3

Jadi, P₁ benar.

Langkah induksi :

Misal  P(k) = k³ + 2k habis dibagi 3

Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar , maka P(k+1) juga benar, yaitu 

(k + 1)³ + 2(k + 1) habis dibagi 3

Hasil asumsi :

Hasil asumsi

Karena pada langkah sebelumnya sudah diketahui bahwa k³ + 2k habis dibagi 3 dan 3(k2 + k + 1) juga habis dibagi 3, maka (k3 + 2k) + 3(k2 + k + 1) pasti habis dibagi 3.

Jadi, benar.

Pembuktian Induksi Matematika pada Ketidaksamaan

Jenis ketidaksamaan ini ditandai dengan tanda lebih dari atau kurang dari dalam pernyataannya. Sifat-sifat yang sering digunakan untuk pernyataan jenis pertidaksamaan adalah sebagai berikut :

  1. a < b < c ⇒ a < c atau a > b > c ⇒ a > c
  2. a > b  ⇒ a + c > b + c atau a < b  ⇒ a + c < b + c

Contoh soal ketidaksamaan

  1. Buktikanlah untuk setiap bilangan asli n ≥ 2 berlaku 3n > 1 + 2n

Pembahasan :

P(n) = 3n > 1 + 2n

Langkah awal :

Misal n = 2, maka

P₁ : 32 = 9 > 1 + 2.2 = 5

Jadi, P₁ benar.

Langkah induksi :

Misal P(k) = 3k > 1 + 2k,    k ≥ 2

Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar, maka P(k + 1) juga benar, yaitu

3k+1 > 1 + 2(k + 1)

Asumsi benar

Jadi, n=(k + 1) benar.

Rumus Induksi Matematika

Dapat disimpulkan dari penjelasan sebelumnya bahwa langkah untuk pembuktian induksi matematika dapat dilakukan dengan cara seperti berikut :

  1. Langkah awal : Menunjukan bahwa P(1) adalah benar.
  2. Langkah induksi : Mengasumsikan bahwa P(k) adalah benar untuk k bilangan asli, lalu menunjukan P(k + 1) juga benar berdasarkan asumsi tersebut.
  3. Kesimpulan : P(n) adalah benar untuk masing-masing bilangan asli n.

Gimana sobat Studioliterasi? Sudah mulai paham kan? Semoga setelah membaca dan mempelajari materi ini kalian bisa lebih paham dan bisa mengerjakan soal tentang induksi matematika.

Baca Juga: Barisan dan Deret oleh Studio Literasi

Next Post
Teks Anekdot

Contoh Teks Anekdot

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

Artikel Terpopuler

dialog agreement and disagreement
Kelas 10 Bahasa Indonesia

Pengertian Agreement and Disagreement, Fungsi, & Contoh

by Siti Haliza
Januari 19, 2023
0

Read more

Pengertian Agreement and Disagreement, Fungsi, & Contoh

Kumpulan Contoh Essay Beasiswa yang Bisa Dijadikan Acuan

Apa itu Beasiswa, Manfaat,  & Berbagai Jenisnya

Definisi & Faktor Pembentuk Integrasi Nasional – Materi PKN

Faktor Pembentuk Kepribadian Menurut Ilmu Sosiologi

Mengenal 4 Jenis Jurnal Khusus yang Wajib Kamu Ketahui

Daftarkan emailmu, ikuti terus artikel terbaru kami

Belajar online kapan saja dan dimana saja.

Hubungi Kami

sma.studioliterasi.com adalah bagian dari media Storylabs.id. Ingin bekerjasama dengan tim kami untuk mempromosikan brand/event Anda? Hubungi kami sekarang juga!

[email protected]

copyright © sma.studioliterasi.com

  • Disclaimer
  • Syarat dan Ketentuan
No Result
View All Result
  • SMA
    • Kelas 10
      • Kelas 10 Bahasa Indonesia
      • Kelas 10 matematika
      • Kelas 10 Ekonomi
      • Kelas 10 Sejarah
      • Kelas 10 Geografi
      • Kelas 10 PKn
      • Kelas 10 Sosiologi
      • Kelas 10 Kimia
      • Kelas 10 Fisika
      • Kelas 10 PAI
      • Kelas 10 Penjasorker
      • Kelas 10 Bahasa Inggris
      • Kelas 10 Biologi
    • Kelas 11
      • Kelas 11 Bahasa Indonesia
      • Kelas 11 Bahasa Inggris
      • Kelas 11 Biologi
      • Kelas 11 Ekonomi
      • Kelas 11 Fisika
      • Kelas 11 Geografi
      • Kelas 11 Kimia
      • Kelas 11 Matematika
      • Kelas 11 PAI
      • Kelas 11 PKN
      • kelas 11 Sejarah
      • Kelas 11 Penjasorkes
      • Kelas 11 Sosiologi
    • Kelas 12
      • Kelas 12 Bahasa Indonesia
      • Kelas 12 Bahasa Inggris
      • Kelas 12 Biologi
      • Kelas 12 Ekonomi
      • Kelas 12 Fisika
      • Kelas 12 Geografi
      • Kelas 12 Kimia
      • Kelas 12 Matematika
      • Kelas 12 PAI
      • Kelas 12 Penjasorkes
      • Kelas 12 PKN
      • Kelas 12 Sejarah
      • Kelas 12 Sosiologi
  • SMK
    • TKJ
    • Multimedia
    • Tata Boga
  • KAMPUS IMPIAN
    • Seleksi Masuk
    • Seputar Kuliah
    • Info Beasiswa

copyright ©2023 sma.studioliterasi.com