Logaritma

Materi kali ini akan membahas mengenai logaritma. Materi logaritma yang akan kita bahas berisi pengertian logaritma, sifat logaritma, rumus logaritma, persamaan logaritma, pertidaksamaan logaritma, logaritma natural, tabel logaritma, dan contoh soal logaritma beserta pembahasannya. Untuk mengetahui lebih banyak lagi, mari ikuti pembahasan logaritma berikut!

Pengertian Logaritma

Logaritma adalah kebalikan dari perpangkatan. 

Jika a adalah bilangan positif (a > 0) dan b adalah bilangan positif tidak sama dengan satu (0 < b <  1 atau b > 1), maka

^blog a = c  ⟺ b^c = a 

Rumus Logaritma

Rumus logaritma itu sendiri ditulis dengan :

a^c = b ￫ ^alog b = c

a = basis logaritma
b = bilangan yang dilogaritmakan
c = hasil logaritma

Sifat-sifat Logaritma

Logaritma memiliki beberapa sifat, berikut sifat-sifat logaritma:

• Jika a dan n merupakan bilangan real, a > 0 dan a ≠ 1, maka

1. ^alog a = 1
2. ^alog 1 = 0
3. ^alog an = n

Contoh :

1. ^alog a = x ⇔ a^x = a maka x = 1 atau ^alog a = 1
2. ^alog 1 = y ⇔ a^y = 1. sebab a⁰ = 1, maka y = 0
3. ^alog an = z ⇔ a^x = aⁿ maka z = n serta ^alog aⁿ = n

• Jika a, b, dan c bilangan real positif, a ≠ 1, dan b > 0, berlaku
  ^alog (b×c) = ^alog b + ^alog c

Bukti :
^alog b=x ⇔ b=a^x
alog c=y ⇔ c=a^y

Dengan mengalikan nilai a dan b , maka :

b × c = a^x × a^y ⇔ b × c = a^x+y
⇔ ^alog(b×c) = x+y subtitusikan x dan y
⇔ ^alog(b×c) = ^alog b + ^alog c (terbukti)

• Jika a, b, dan c bilangan real dengan a > 0, a ≠ 1, dan b > 0, berlaku
  ^alogbc = ^alog b – ^alog c 

Bukti :
^alog b=x ⇔ b=a^x
alog c=y ⇔ c=a^y

Lalu membagi b dan c, maka diperoleh :

bc= axay ⇔ bc=ax-y
⇔^alogbc =ax-y
⇔^alogbc = x – y Subtitusikan x dan y
⇔^alogbc = ^alog b – ^alog c (terbukti)

• Jika a, b, dan n bilangan asli, a > 0, b > 0, a ≠ 1, berlaku
  ^alog bⁿ = n × ^alog b

Bukti :

• Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a ≠ 1, b ≠ 1, dan c ≠ 1, berlaku
  ^alog b = clog bclog a= 1blog a

Bukti :

^alog b=x ⇔ b=a^x

Ambil sembarang c bilangan real dan c ≠ 1, maka :

^clog b=^clog a^x ⇔ ^clog b=x×^clog a 
⇔ x =clog bclog a subtitusi nilai x
⇔^alog b = clog bclog a (terbukti)

Karena c adalah bilangan real dan c ≠ 1 sembarang, dapat dipenuhi c = b. Sehingga diperoleh :

⇔ ^alog b = blog bblog a
⇔ =1blog a (terbukti)

• Untuk a, b, dan c bilangan real positif dengan a ≠ 1 dan b ≠ 1, berlaku
  ^alog b × ^blog c = ^alog c

Bukti:

^alog b=x ⇔ b=a^x
blog c=y ⇔ c= b^y
alog b×^blog c= ^alog a^x × ^blog b^y
⇔ ^alog b×^blog c=^alog b×^blog b^y 
⇔ ^alog b×^blog c=y ^alog b×^blog b 
⇔ ^alog b×^blog c=y ^alog b 
⇔ ^alog b×^blog c=^alog b^y 
⇔ ^alog b×^blog c=^alog c (terbukti)

• Untuk a dan b bilangan real positif dengan a ≠ 1, berlaku amlog bn=nm(^alog b), dengan m, n bilangan rasional dan m ≠ 0.
• Untuk a dan b bilangan real positif a ≠ 1, berlaku a ^alogb = b

Persamaan Logaritma

Apa itu persamaan logaritma?

Persamaan logaritma adalah persamaan yang memuat bentuk logaritma. Ada beberapa bentuk persamaan logaritma, diantaranya sebagai berikut :

1. Bentuk persamaan ^alog(fx)=^alog p

Persamaan ^alog f(x)=^alog p dengan a>0, a≠1, f(x)>0, dan p>0, bersifat ^alog f(x)= ^alog p ⇒ f(x)=p

Contoh :

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan ⁵log (x +13) = ⁵log 6!

Pembahasan :

⁵log (x +13) = ⁵log 6 ⇔ x + 13 = 6
⇔ x = 6 – 13
⇔ x = –7

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan ⁵log (x +13) = ⁵log 6 adalah –7.

2. Bentuk Persamaan ^alog f(x) = ^alog g(x)

Persamaan ini hampir serupa dengan persamaan logaritma sebelumnya. Bedanya hanya pada konstanta p di persamaan logaritma sebelumnya sebagai numerus diganti dengan fungsi g(x). Persamaan ^alog f(x)=^alog g(x) dengan a>0, dan a≠1, f(x)>0, dan g(x)>0, bersifat ^alog f(x)=^alog g(x)⇒f(x)=g(x)

Contoh :

Tentukan nilai x pada persamaan logaritma log (x²–x–10) = log 2x!

Pembahasan :

log (x²–x–10) = log 2x⇔x²–x–10=2x
⇔ x²–x-2x-10=0
⇔ x²-3x-10=0
⇔ (x+2)(x-5)=0
x+2=0 atay x-5=0
x = -2 atau x = 5

Jika x = –2, numerus bernilai negatif. Artinya, x=–2 tidak memenuhi.
Jika x = 5, numerus bernilai positif. Artinya, x = 5 memenuhi.
Jadi, nilai x pada persamaan log (x²–x–10)=log 2x adalah 5.

3. Bentuk Persamaan ^alog f(x) = ^blog f(x)

Pada persamaan logaritma sebelumnya ada numerus yang berbeda, sedangkan pada persamaan logaritma ini ada bilangan pokok yang berbeda. Persamaan ^alog f(x)=^blog f(x) dengan a>0, a≠1, b>0, b≠1, a≠b, dan f(x)>0, bersifat ^alog f(x) = ^blog f(x) ⇔ f(x)=1

Contoh :

Tentukan nilai x dari persamaan logaritma berikut ini !

 ²log (66 – 5x) = ³log (66 – 5x)

Pembahasan:

²log (66 – 5x) = ³log (66 – 5x) ⇔ 66 – 5x = 1
⇔ -5x = 1 – 66
⇔ -5x = – 65
⇔ x=-65-5= 13

4. Bentuk Persamaan ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x)

Persamaan logaritma ini memiliki bilangan pokok dan numerus berupa fungsi yang mengandung variabel. Persamaan ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x) dengan f(x)≠1, f(x)>0, g(x)>0, dan h(x)>0, bersifat :

^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x) ⇔ g(x)=h(x)

Contoh :

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2x + ¹log (x² – 10) = 2x + ¹log (5 – 2x)!

Pembahasan:

2x + ¹log (x²–10) = 2x+¹log (5–2x) ⇔ x²–10 = 5–2x
⇔ x²+2x-10-5 = 0
⇔ x²+2x-15 = 0
⇔ (x+5) (x-3) = 0
x+5=0 atau x-3=0
x=-5 atau x=3

Substitusi nilai x pada bilangan pokok dan numerus. Bilangan pokok dan numerus harus bernilai positif dengan bilangan pokok ≠ 1.

Jadi, tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.

5. Bentuk Persamaan ^f(x)log h(x) = ^g(x)log h(x)

Jika pada persamaan logaritma sebelumnya terdapat numerus yang berbeda, pada persamaan logaritma ini yaitu terdapat bilangan pokok yang berbeda. Pada persamaan ^f(x)log h(x) = ^g(x)log h(x) dengan h(x) > 0, f(x) ≠ 1, f(x) > 0, g(x) ≠ 1, dan g(x) > 0, bersifat ^f(x)log h(x) = ^g(x)log h(x)

1. f(x) =g(x)
2. h(x)=1

Contoh :

Tentukan nilai x agar persamaan x+1 log (x2 +1)= x²–⁵ log(x2 +1) bernilai benar!

Pembahasan:

Solusi pertama:

^x+1 log x² + 1 = x^{2 -5} log(x²+1)⇔x+1=x²+5
⇔ x +1 = x²-5
⇔ 0 = x² -x -5 -1 
⇔ 0 = x² -x – 6
⇔0 = (x+2)(x-5)
0 = x + 2 atau 0 = x – 3
x = –2 atau x = 3

Untuk x = –2:
x²+1 = (–2)²+1 = 4+1 = 5>0 (memenuhi)
x+1 = (-2)+1 = –1<0 (tidak memenuhi)
x²–5 = (–2)²–5 = 4–5 = –1<0 (tidak memenuhi)

Untuk x = 3:
x²+1= 3²+1= 9+1= 10>0 (memenuhi)
x+1= 3+1= 4>0 (memenuhi)
x²–5= 3²–5= 9–5= 4>0 (memenuhi)

Ini berarti, nilai x = 3 adalah solusi.

Solusi kedua:

^x+1 log (x² +1)= ^x2 – ⁵ log(x² +1) ⇔ x² + 1 = 1
⇔ x² = 0
⇔ x = 0

Periksa syarat untuk x = 0.
x²+1 = 0²+1 = 0+1 = 1>0 (memenuhi)
x+1 = 0+1 = 1>0 (memenuhi)
x²–5 = 0²–5 = 0–5 = –5<0 (tidak memenuhi)

Artinya, nilai x=0 bukan solusi.

Jadi, nilai x agar persamaan ^x+1 log (x² +1)= ^x2-5 log(x² +1) bernilai benar adalah 3.

6. Bentuk Persamaan A(^alog f(x))2 + B^alog f(x) + C = 0

Persamaan logaritma ini adalah bentuk persamaan kuadrat yang logaritma sebagai variabel. Agar bisa menyelesaikan persamaan logaritma ini, kita misalkan y = ^alog f(x) sehingga memiliki  persamaan Ay² + By + C = 0. Setelah diperoleh nilai y, subtitusikan lagi pada pemisalan y = ^alog f(x) hingga diperoleh nilai x.

Contoh :

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan ²log² x – ²log x³ + 2 = 0!

Pembahasan:

²log² x – ²log x³ + 2 = 0 ⇔ (²log x)² – 3. ²log x + 2 = 0

Misalkan y = ²log x, maka:

(²log x)² – 3 . ²log x =2 ⇔ y² – 3y + 2 =0
⇔ (y-2)(y-1) = 0
⇔ y=2 atau y=1

Untuk mengetahui nilai x, subtitusikan nilai y yang diperoleh pada pemisalan tadi.

y = 2 ⇔ ²log x = 2 ⇔ x = 2² ⇔ x = 4
y = 1 ⇔ ²log x = 1 ⇔ x = 2¹ ⇔ x = 2

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma tersebut adalah {2, 4}.

Pertidaksamaan Logaritma

Apa itu pertidaksamaan logaritma?

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang memiliki tanda penghubung berupa tanda ketidaksamaan, yaitu tanda >, <, ≥, atau ≤. Dengan demikian, yang dimaksud dengan pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang memuat bentuk logaritma. Seperti pada persamaan logaritma, variabel pada pertidaksamaan logaritma terdapat pada numerus atau pada bilangan pokok.

Bentuk pertidaksamaan logaritma adalah sebagai berikut :

1. Untuk bilangan pokok a>1

^alog f(x) > ^alog g(x) ⇔ f(x) > g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0

^alog f(x) ≥ ^alog g(x) ⇔ f(x) ≥ g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0

^alog f(x) < ^alog g(x) ⇔ f(x) < g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0

^alog f(x) ≤ ^alog g(x) ⇔ f(x) ≤ g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0

2. Untuk bilangan pokok 0>a>1

^alog f(x) > ^alog g(x) ⇔ f(x) < g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0

^alog f(x) ≥ ^alog g(x) ⇔ f(x) ≤ g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0

^alog f(x) < ^alog g(x) ⇔ f(x) > g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0

^alog f(x) ≤ ^alog g(x) ⇔ f(x) ≥ g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0

Kamu tidak harus menghafal semua bentuk pertidaksamaan logaritma. Namun, cukup perhatikan perubahan tanda ketidaksamaannya :

• Jika bilangan pokok a>1, cukup ambil numerus pada masing-masing bentuk logaritma dan gunakan tanda penghubung ketidaksamaan yang sama.
• Jika bilangan pokok memiliki nilai 0<a<1, cukup ambil numerus pada masing-masing bentuk logaritma dan gunakan tanda penghubung ketidaksamaan yang berlawanan. Misalnya tanda > menjadi < dan ≥ menjadi ≤.
• Jangan lupa bahwa setiap numerus harus bernilai positif.

Contoh :

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan ³log x + ³log (x + 1) ≤ 1 + ³log (7 – x)!

Pembahasan:

Ubah bentuk pertidaksamaan pada soal ke dalam bentuk umum pertidaksamaan logaritma. Dengan menggunakan sifat logaritma, diperoleh:

³log x + ³log (x + 1) ≤ 1 + ³log (7 – x)
⇔ ³log x (x + 1) ≤ ³log 3(7 – x)
⇔ ³log (x2 + x) ≤ ³log (21 – 3x)

Solusi:

x² + x ≤ 21 – 3x
⇔ x² + 4x – 21 ≤ 0
⇔ (x + 7) (x – 3) ≤ 0
⇔ –7 ≤ x ≤ 3

Syarat numerus:
• x > 0
• x+1 > 0 → x>–1
• 7–x > 0 → x<7

Jadi, penyelesaiannya adalah 0<x≤3.

3. Bentuk A(^alog f(x))² + B^alog f(x) + C ≤ 0

Langkah penyelesaian bentuk pertidaksamaan logaritma ini hampir sama dengan bentuk persamaan logaritma yang telah kamu pelajari sebelumnya. 

Logaritma Natural

Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis bilangan e. Bilangan e ini, seperti halnya bilangan π, adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas. Sampai dengan 10 angka di belakang koma, nilainya adalah :

e = 2,7182818284

Bilangan e merupakan salah satu bilangan-nyata yang sangat penting dalam matematika :

ln e = 1 (8.1)
ln e^a = a ln e = a

Kita lihat sekarang fungsi logaritma natural. Fungsi logaritma natural dari x dituliskan sebagai

y = ln x

Sifat-Sifat. Sifat-sifat logaritma natural mirip dengan logaritma biasa. Jika x dan a adalah positif dan n adalah bilangan rasional, maka :

ln ax = ln a + ln x
lnxa= ln x – ln a
ln xⁿ = n ln x
ln e = 1
ln e^x= x
ln x bernilai negatif untuk x < 1

Tabel Logaritma

Berikut di bawah ini merupakan tabel logaritma :

Contoh Soal Logaritma

Perhatikan soal-soal berikut :

1. Berapa n, jika 2ⁿ = 16 !
2. Berapa x, jika 10^x = 1.000 !
3. Sederhanakan ² log 3 + ⁴ log 3 !
4. Sederhanakan ² log a + ² log b !
5. Nyatakan b dalam a agar berlaku ^alog b–2^blog a=1 !

Jawaban :

1. 2ⁿ = 16, maka
   n = ²log 16
   = ²log 2⁴ = 4
   
2. 10^x = 1000, maka
   x=¹⁰log 1000
   = ¹⁰log 10³=3
   
3. ²log 3+ ⁴log 3 = log 3²+log 3⁴
   = log 9+log 81
   = log 9 . 81
   = log 729
   
4. ²log a+ ²log b=log a²+log b²
   = log a² . b²
   = log (ab)²
   
5. ^alog b–2^blog a=1
   ⇔ ^alog b – 2^alog b- 1 = 0
   ⇔ P – 2P- 1 = 0
   ⇔ P²-P-2=0
   ⇔ (P+1)(P-2) = 0
   ⇔ P=-1 atau P=2
   ⇔ ^alog b=-1 atau ^alog b=2

Sekarang nyatakan b ke a sebagai berikut :

Nah, itulah materi bab logaritma lengkap beserta contoh logaritma yang telah kami rangkum. Terus belajar dan banyak mencoba latihan soal logaritma ya! Semoga materi logaritma ini bisa membantu dan dapat bermanfaat.

Baca materi matematika lainnya:

• Trigonometri
• Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak