Mengenal Logika Matematika, Jenis, dan Cara Menarik Kesimpulan

Otak kita sedari kecil sudah banyak berlatih untuk belajar berpikir logis. Melatih otak untuk berpikir logis antara lain adalah membiasakan untuk berpikir sistematis, selalu mempertanyakan sesuatu serta belajar berpikir objektif. Dalam ilmu matematika, terdapat suatu materi yang mengajarkan kita bagaimana mengambil kesimpulan dengan logis dan teliti yakni logika matematika.

Daftar Isi

Selanjutnya, di dalam logika matematika kita harus bisa membedakan mana kalimat terbuka, kalimat pernyataan, dan kalimat bukan pernyataan. Daripada penasaran, coba kita simak penjelasan di bawah ini ya!

Pengertian Logika Matematika

Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian logika matematis. Acuan berpikir ini berguna untuk mencapai kesimpulan secara tepat. Untuk mencapai kesimpulan yang tepat maka perlu adanya sebuah landasan berpikir untuk mendapatkan sebuah kebenaran dengan pembuktian rasional.

Jenis-Jenis Logika Matematika

Macam-macam logika matematika terbagi menjadi dua, yakni:

Pernyataan atau Proposisi

Apa itu pernyataan? proposisi atau pernyataan merupakan kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah. Maksud dari penjelasan tersebut adalah kalimat yang hanya mempunyai satu jawaban yaitu benar atau salah. Jika kalian masih bingung coba lihat contoh di bawah ini:

Surabaya adalah Ibukota Provinsi Jawa Timur (benar).
Cabang Ilmu Pengetahuan Alam yang mempelajari tentang makhluk hidup adalah Biologi (benar).
Indonesia adalah negara beriklim tropis (benar).
Penemu mesin uap adalah Sir Isaac Newton (salah).
Bunga bangkai Rafflesia Arnoldi tumbuh di Sulawesi (salah).

Secara garis besar, proposisi terbagi menjadi tiga jenis yaitu pernyataan tunggal, majemuk dan berkuantor. Penjelasannya adalah sebagai berikut:

Pernyataan Tunggal

Sesuai dengan namanya pernyataan atau proposisi tunggal merupakan kalimat deklarasi yang memuat satu proposisi saja.

Contoh:

Hewan katak termasuk ke dalam kelas amphibi.
Tembok Cina Raksasa berada di Negara Republik Rakyat Cina.
Bahasa Resmi Negara Kanada adalah Inggris dan Perancis.

Tahukah kalian jika proposisi memiliki lawan kata yakni ingkaran atau negasi. Ingkaran adalah kebalikan dari pernyataan itu sendiri. Jika proposisi berupa simbol p , maka negasi mempunyai notasi ~p.

Contoh:

Pernyataan = Hari Minggu adalah hari libur (p).

Ingkaran = Hari Minggu bukan hari libur (~p).

Pernyataan = Gunung Jayawijaya bukanlah gunung tertinggi se-Indonesia (p).

Ingkaran = Gunung Jayawijaya adalah gunung tertinggi se-Indonesia (~p).

Kalimat deklaratif di atas dapat dinyatakan dalam tabel kebenaran.

p	~p
B	S
S	B

Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk sering muncul pada logika matematika. Ia merupakan kalimat yang mengandung dua kalimat deklaratif tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung. Pernyataan majemuk terbagi menjadi empat yaitu konjungsi, disjungsi, implikasi, serta biimplikasi

Konjungsi

Merupakan dua kalimat deklaratif yang terhubung oleh tanda hubung “dan”.

Contoh:

p = Kakak membaca buku

q = Kakak mendengarkan musik

Konjungsi akan bernilai benar jika keduanya sama-sama benar. Bila hanya satu proposisi saja yang benar, maka ia bernilai salah. Berdasarkan contoh di atas, maka mereka terkonjungsikan menjadi sebuah kalimat deklaratif berbunyi “kakak membaca buku dan mendengarkan musik.”

Jadi kalimat deklaratif di atas dapat dinotasikan dengan simbol p ∧ q

Hal tersebut dapat digambarkan dalam tabel kebenaran.

p	q	p∧q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Nah, ternyata pernyataan diatas bisa berubah menjadi bentuk ingkaran, lho! Biar paham coba lihat rumus di bawah ini:

~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q

Kalimat “kakak membaca buku dan mendengarkan musik” akan menjadi sebuah ingkaran dengan bunyi “kakak tidak membaca buku atau mendengarkan musik”.

Disjungsi

Selanjutnya adalah disjungsi. Dalam logika matematika, ia merupakan gabungan dua kalimat yang terhubung oleh tanda hubung “atau”.

Contoh:

p = Ibu pergi ke pasar

q = Ibu pergi ke apotek

Disjungsi bernilai benar jika terdapat salah satu pernyataan yang benar. Jika akan satu proposisi yang salah maka bisa bernilai benar.

Selanjutnya, simbol disjungsi dinotasikan sebagai p ∨ q. Berdasarkan contoh sederhana di atas, maka mereka membentuk disjungsi dengan bunyi “Ibu pergi ke pasar atau ke apotek”.

Berikut adalah tabel kebenarannya:

p	q	p∨q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Dalam logika matematika, nilai ingkaran disjungsi adalah seperti berikut:

~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q

Kalimat “Ibu pergi ke pasar atau ke apotek” akan menjadi sebuah ingkaran disjungsi dengan bunyi “ibu tidak pergi ke pasar dan tidak ke apotek.”

Implikasi

Implikasi merupakan gabungan dari dua pernyataan karena adanya sebab dan akibat. Penulisan proposisi implikasi adalah didahului oleh kata “jika … maka …” Dengan kata lain, proposisi pertama adalah utama, sedangkan proposisi kedua menjadi akibat atau konsekuensinya.

Contoh:

p = Adel tidur di dalam kamar

q = Ayah membersihkan halaman rumah

Berdasarkan contoh sederhana di atas, maka mereka membentuk disjungsi dengan bunyi “ jika Adel tidur di dalam kamar maka Ayah membersihkan halaman rumah”.

Selanjutnya, berikut adalah tabel kebenarannya:

p	q	pq
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Dalam logika matematika, nilai ingkaran disjungsi bisa berupa rumus, seperti ini:

~(p q) ≡ p ∧ ~q

Kalimat “jika Adel tidur di dalam kamar maka Ayah membersihkan halaman rumah” akan menjadi sebuah ingkaran implikasi dengan bunyi “Adel tidur di dalam kamar dan Ayah tidak membersihkan halaman rumah”.

Biimplikasi

Pernyataan majemuk dalam logika matematika selanjutnya adalah biimplikasi. Proposisi dalam biimplikasi terhubung dengan kata “….jika dan hanya jika…”. Notasinya berupa tanda pq.

Contoh:

p = Rizka akan naik kelas

q = Rizka belajar dengan sungguh-sungguh

Berdasarkan contoh sederhana di atas, maka mereka membentuk disjungsi dengan bunyi “ Rizka akan naik kelas jika dan hanya jika Rizka belajar dengan sungguh-sungguh”

Berikut adalah tabel kebenarannya:

p	q	pq
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Selanjutnya, dalam logika matematika, nilai ingkaran biimplikasi yakni seperti berikut:

~(p q) ≡ (p ∧ ~q) ∨ (~q ∧ p)

Kalimat “Rizka akan naik kelas jika dan hanya jika Rizka belajar dengan sungguh-sungguh” akan menjadi sebuah ingkaran biimplikasi dengan bunyi “Rizka akan naik kelas dan tidak belajar dengan sungguh-sungguh atau Rizka tidak belajar dengan sungguh-sungguh dan akan naik kelas”.

Pengambilan Kesimpulan

Selanjutnya untuk membuat kesimpulan atas sebuah peristiwa maka perlu melibatkan beberapa premis. Secara umum untuk menarik sebuah kesimpulan,terdapat beberapa cara yaitu modus ponens, modus tolens, dan silogisme.

Modus Tollens

Premis 1 = pq

Premis 2 = ~q

Kesimpulan = ~p

Contoh :

Premis 1 = Eropa mengalami krisis gandum, maka harga roti meningkat

Premis 2 = Harga roti tidak meningkat

Kesimpulan = Eropa tidak mengalami krisis gandum

Modus Ponens

Premis 1 = pq

Premis 2 = p

Kesimpulan = q

Contoh:

Premis 1 = Sungai mengalir deras, maka akan terjadi banjir.

Premis 2 = Sungai mengalir deras.

Kesimpulan = Akan terjadi banjir.

Silogisme

Premis 1 = pq

Premis 2 = qr

Kesimpulan = pr

Contoh:

Premis 1 = Aku makan hari ini dengan porsi lebih, maka aku kenyang sekali

Premis 2 = Aku kenyang sekali, maka aku langsung sakit perut

Kesimpulan = Aku makan hari ini dengan porsi lebih maka aku langsung sakit perut

Kesimpulan

Nah, bagaimana sudah paham bukan apa itu logika matematika. Proposisi terbagi menjadi dua kategori besar yakni pernyataan tunggal dan majemuk. Setiap proposisi mempunyai aturannya sendiri-sendiri. Mempelajari logika matematika memang gampang-gampang susah.1

Oleh karena itu, dibutuhkan ketelitian dan penalaran yang baik supaya kalian bisa menjawabnya. Oke, sampai jumpa di lain kesempatan. Semoga bermanfaat ya!