1. Kelas 11 Matematika

Persamaan Lingkaran

Pada Materi kali ini akan membahas mengenai persamaan lingkaran. Materi yang akan kita bahas meliputi konsep, bentuk umum, kedudukan titik terhadap lingkaran, kedudukan garis terhadap lingkaran, dan persamaan garis singgung lingkaran. Pada setiap sub bab juga akan membahas sifat-sifat yang ada, dan juga contoh beserta penyelesaiannya.

Untuk lebih lengkapnya silahkan pelajari penjelasan berikut :

Konsep Persamaan Lingkaran

Lingkaran adalah sebuah bangun datar yang sering kita gunakan sebagai alat bantu dalam menjelaskan ilmu pengetahuan lain maupun dalam berbagai penyelesaian masalah dalam kehidupan sehari-hari.

Pada bab ini akan dibahas tentang lingkaran dan beberapa hal dasar yang akan membantu kita untuk menemukan konsep tentang lingkaran itu sendiri.

Artikel Terkait

  • Aljabar Matematika: Dasar-dasar dan Kegunaannya dalam Kehidupan Sehari-hari
    by Amanda Rayta (Studio Literasi) on Januari 18, 2024 at 1:51 am

    Matematika adalah salah satu cabang ilmu yang paling penting dalam kehidupan kita. Salah satu konsep yang sangat penting dalam matematika adalah aljabar. Umumnya, materi aljabar ini kita mulai mempelajarinya sejak kelas 7 SMP.  Aljabar matematika melibatkan penggunaan simbol dan variabel untuk memecahkan masalah dan menjelaskan hubungan antara angka. Namun pada artikel ini lebih fokus untuk Artikel Aljabar Matematika: Dasar-dasar dan Kegunaannya dalam Kehidupan Sehari-hari pertama kali tampil pada Studio Literasi.

  • Tentang Vektor: Definisi, Macam, dan Penerapannya
    by Amanda Rayta (Studio Literasi) on Januari 16, 2024 at 2:43 am

    Dalam dunia matematika, terdapat banyak konsep yang penting dan perlu kita pahami. Salah satunya adalah vektor. Materi vektor ini diajarkan untuk jenjang SMA untuk jurusan IPA yang termasuk daftar mata pelajaran Matematika Peminatan IPA mulai dari kelas 10.  Vektor merupakan salah satu konsep dasar yang memiliki peranan penting dalam berbagai bidang, seperti fisika, matematika, dan Artikel Tentang Vektor: Definisi, Macam, dan Penerapannya pertama kali tampil pada Studio Literasi.

  • Pola Bilangan: Definisi, Jenis, dan Contoh dalam Matematika
    by Amanda Rayta (Studio Literasi) on Januari 12, 2024 at 1:18 am

    Sobat Literasi, tahukah kamu kalau materi tentang pola bilangan merupakan salah satu materi yang cukup populer. Bahkan, pola bilangan juga kerap muncul saat ujian nasional. Pola bilangan ini sebenarnya sudah kita pelajari mulai saat kita kelas 1 SD. Pada awalnya, pelajaran ini berupa pengenalan susunan angka. Dalam matematika, pola bilangan kita gunakan untuk mempelajari hubungan Artikel Pola Bilangan: Definisi, Jenis, dan Contoh dalam Matematika pertama kali tampil pada Studio Literasi.

  • Larutan: Definisi, Jenis, Sifat, dan Fungsi Sehari-hari
    by Amanda Rayta (Studio Literasi) on Januari 12, 2024 at 12:55 am

    Bagi kamu yang berada di jurusan IPA saat SMA, pasti kamu pernah mempelajari larutan. Larutan sendiri termasuk materi dari mata pelajaran kimia. Mungkin yang kamu ingat  mengenai larutan yaitu suatu cairan yang terdiri dari 2 zat yang bercampur sehingga menghasilkan suatu larutan. Melalui artikel ini, Sobat Literasi akan mengetahui lebih lanjut tentang larutan, termasuk definisi, Artikel Larutan: Definisi, Jenis, Sifat, dan Fungsi Sehari-hari pertama kali tampil pada Studio Literasi.

Definisi

Persamaan lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik pada suatu bidang yang memiliki jarak sama terhadap sebuah titik tertentu.

Rumus Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran memiliki rumus yang harus kita ketahui, berikut diantaranya:

  • Rumus persamaan lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dengan jari-jari r

x2 + y2 = r2

Atau dengan kata lain, jika L adalah himpunan titik-titik yang berjarak r terhadap titik P(0, 0) maka L {(x, y) | x2 + y2 = r2}

Contoh soal:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) yang memiliki jari-jari sebagai berikut :

  1. 3        b. 4        c. 5        d. 6

Penyelesaian :

  1. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan jari-jari 3 adalah x2 + y2 = 32 ⇔ x2 + y2 = 9
  2. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan jari-jari 4 adalah x2 + y2 = 42 ⇔ x2 + y2 = 16
  3. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan jari-jari 5 adalah x2 + y2 = 52 ⇔ x2 + y2 = 25
  4. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan jari-jari 6 adalah x2 + y2 = 62x2 + y2 = 36
  • Rumus persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dengan jari-jari r

(x-a)2 + (y-b)2 = r2

Dengan kata lain, jika L adalah himpunan titik-titik yang berjarak r terhadap  titik P(a,b) maka L{(x, y) | (x – a)2 + (y – b)2 = r2}

Contoh soal:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (6, 6) dan memiliki jari-jari r = 6!

Penyelesaian :

(x – a)2 + (y – b)2=r2
a=6, b=6, c=6
⇔(x – 6)2 + (y – 6)2 = 62
⇔(x – 6)2 + (y – 6)2 = 36

Jadi persamaan lingkaran yang memiliki pusat di (6, 6) dan berjari-jari r = 6 adalah (x – 6)2 + (y – 6)2 = 36

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Pada pembahasan kali ini adalah lanjutan dari materi sebelumnya. Setelah kita mengetahui konsepnya, selanjutnya kita akan membahas mengenai bentuk umumnya.

Konsep persamaan yang sudah kita bahas sebelumnya yaitu :

  1. Lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan memiliki jari-jari r persamaannya adalah r2 + y2 = r2
  2. Lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan memiliki jari-jari r persamaannya adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2

Kedua bentuk tersebut dapat diketahui titik pusat lingkaran dan panjang jari-jarinya. Persamaan tersebut dinamakan bentuk baku persamaan lingkaran.

Bentuk umum persamaan lingkaran adalah :

x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0

 dengan titik pusat P (–A, –B) dan berjari-jari

penyelesaian contoh soal 1 hukum kirhchoff

dengan A, B, C bilangan real dan A2 + B2 ≥ C

Contoh soal 1:
Jabarkanlah persamaan berikut ini:
(x–a)2 + (y–b)2 = r2

Setelah itu, maka diperoleh persamaan a2 + b2 – r2 = C dengan –a = A ; –b = B. tentukan nilai r !

Penyelesaian :
Karena a2 + b2 – r2 = C dengan –a =A ; –b = B
maka r2 = A2 + B2 – C, atau

penyelesaian contoh soal 2 hukum kirhchoff

Contoh soal 2 :
Berdasarkan contoh sebelumnya diperoleh persamaan x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, ubahlah persamaan tersebut ke dalam persamaan bentuk baku !

Penyelesaian :

x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0
⇔ x2 + y2 + 2Ax + 2By = –C
⇔ (x2 + 2Ax + A2) – A2 + (y2 + 2By + B2) – B2 = –C
⇔ (x + A)2 + (y + B)2 = A2 + B2 = –C

penyelesaian contoh soal 3 hukum kirhchoff

Berdasarkan penyelesaian contoh 2 diperoleh bahwa persamaan

penyelesaian contoh soal 3 hukum kirhchoff

adalah lingkaran yang berpusat di titik P(–A, –B) dan berjari-jari

penyelesaian contoh soal 5 hukum kirhchoff

Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

Agar mudah dalam memahami materi, kami akan langsung berikan contoh masalah beserta penyelesaiannya.

Masalah 1 :

Masih ingatkah kamu masalah gunung Sinabung. Jika letak beberapa desa di koordinat kartesius dengan menganggap gunung Sinabung berada pada titik P(0, 0) dan memiliki jari jari 5 satuan. Tentukan kedudukan titik pada desa Sigaranggarang di titik (0, 5), desa Sukatepu di titik (5, 4), dan desa Bekerah di titik (2, –1) terhadap lingkaran yang dengan pusat (0, 0) dan jari-jari 5 satuan. Apakah penduduk desa-desa tersebut perlu mengungsi?

Penyelesaian:
Dari permasalahan diatas, maka persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 25

  • Untuk desa Sigaranggarang dengan titik (0, 5)

Substitusikan titik (0, 5) pada persamaan x2 + y2 = 25, periksalah titik tersebut terletak di dalam atau di luar lingkaran, lalu simpulkan apakah desa Sigaranggarang perlu mengungsi atau tidak.

  • Untuk desa Sukatepu dengan titik (5, 4)

Substitusikan titik (5, 4) pada persamaan lingkaran x2 + y2 = 25, periksalah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran, lalu simpulkan apakah desa Sukatepu perlu mengungsi atau tidak.

  • Untuk desa Bekerah dengan titik (2, -1)

Substitusikan titik (2, -1) pada persamaan lingkaran x2 + y2 = 25, periksalah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran, lalu simpulkan apakan desa Bekerah perlu mengungsi atau tidak.

Alternatif penyelesaian lain adalah dengan menggambar titik-titik letak desa di koordinat kartesius.

Gambar lingkaran dengan Pusat (0, 0) dan r = 5
Gambar lingkaran dengan Pusat (0, 0) dan r = 5 oleh Studioliterasi

Definisi:

  1. Jika suatu titik A(v, w) terletak di dalam lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r jika v2 + w2 < r2
  2. Suatu titik (v, w) terletak pada lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r jika v2 + w2 = r2
  3. Suatu titik A(v, w) terletak di luar lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r jika v2 + w2 > r2.

Masalah 2 :

Misalkan Gambar berikut menyajikan letak beberapa desa dengan menganggap gunung Sinabung berada pada titik P(3, 2) dan berjari-jari 5 satuan. Tentukan kedudukan titik pada desa Sukameriah, Simacem, dan desa ndeskati berdasarkan gambar di bawah ini! Apakah penduduk desa-desa tersebut perlu mengungsi?

Gambar Lingkaran dengan pusat P(3, 2) dan r = 5
Gambar Lingkaran dengan pusat P(3, 2) dan r = 5 oleh Studioliterasi

Penyelesaian:
Berdasarkan permasalahan yang ada, maka persamaan lingkarannya adalah (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25

  • Untuk desa Sukameriah dengan titik (0, –2)

Substitusikan titik (0, 5) pada persamaan lingkaran (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25, periksalah titik tersebut berada di dalam lingkaran atau di luar lingkaran, kemudian simpulkan apakah desa Sukameriah tersebut perlu mengungsi atau tidak.

  • Untuk desa Simacem dengan titik (6, 3)

Substitusikan titik (6, 3) pada persamaan lingkaran (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25, periksalah titik tersebut berada di dalam lingkaran atau di luar lingkaran, kemudian simpulkan apakah desa Simacem tersebut perlu mengungsi atau tidak.

  • Untuk desa Ndeskati dengan titik (9, 7)

Substitusikan titik (9, 7) pada persamaan lingkaran (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25 , periksalah titik tersebut berada di dalam lingkaran atau di luar lingkaran, kemudian simpulkan apakah desa Ndeskati tersebut perlu mengungsi atau tidak.

Definisi:

  1. Suatu titik  A(v, w) yang berada di dalam lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r jika (v – a)2 + (w – b)2 < r2
  2. Suatu titik A(v, w) yang berada pada lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r jika (v – a)2 + (w – b)2 = r2.
  3. Suatu titik A(v, w) yang berada di luar lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r jika (v – a)2 + (w – b)2 > r2.

Kedudukan  Garis Terhadap Lingkaran

Kedudukan garis terhadap lingkaran
Kedudukan garis terhadap lingkaran oleh Studioliterasi

(i) Sebuah garis yang memotong sebuah lingkaran pada dua titik yang berlainan
(ii) Sebuah garis yang memotong sebuah lingkaran pada suatu titik atau dengan kata lain menyinggung lingkaran
(iii) Sebuah garis yang tidak memotong sebuah lingkaran

Sifat Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Misalkan g garis dengan persamaan y=ax +b dan L lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = r2
Kedudukan garis g terhadap sebuah lingkaran ditentukan oleh nilai diskriminan D = (1 + a2) r2 – b2, yaitu:

  1. D > 0 ⇔ garis g memotong lingkaran di dua titik yang berlainan
  2. D = 0 ⇔ garis g menyinggung lingkaran
  3. D < 0 ⇔ garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Dalam materi ini juga akan membahas mengenai garis singgung. Ada 3 kondisi yang membedakan cara penyelesaiannya. Berikut ini penjelasan beserta contoh untuk mengetahui lebih lengkapnya :

  • Persamaan garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran yang berpusat P(0, 0) dan berjari-jari r

Sifat:
Persamaan pada garis singgung yang melalui titik (x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2 adalah x1x + y1y = r2

Contoh :
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran yang melalui titik (2, 0) dengan pusat P(0, 0) dan berjari-jari 3!

Penyelesaian :
Persamaan lingkaran dengan pusat P(0, 0)dan berjari-jari 3 adalah x2 + y2 = 9 yang melalui titik (2, 0) adalah

x1x + y1y = r2
⇔ xx1 + yy1 = 9
⇔ x(2) + y(0) = 9
⇔  2x – 9 = 0

Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari 3 adalah 2x – 9 = 0

  • Persamaan garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran yang berpusat P(a,b) dan berjari-jari r

Sifat:
Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 adalah (x – a) (x1 – q) + (y1 – b) = r2

Contoh:
Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran yang melalui titik (2, 4) dengan persamaan lingkaran (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5

Penyelesaian:
Persamaan garis singgung pada lingkaran (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5  yang melalui titik (2, 4) adalah sebagai berikut :

(x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2
⇔ (x – 1) (x1 – 1) + (y – 2) (y1 – 2) = 5
⇔ (x – 1) (2 – 1) + (y – 2) (4 – 2) = 5
⇔ (x – 1) 1 + (y – 2) 2 = 5
⇔  x – 1+ 2y – 4 = 5
⇔  x + 2y = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5 adalah x + 2y = 0

  • Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui sebuah titik di luar lingkaran

Contoh:
Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran yang memiliki pusat P(0, 0) dan berjari-jari 5 yang melalui titik (7, 1) !

Penyelesaian:
Titik (7, 1) berada di luar lingkaran x2 + y2 = 25, karena jika titik tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan lingkaran, maka diperoleh 72 + 12 = 50  > 25

Persamaan lingkaran dengan pusat P(0, 0) dan berjari-jari 5 adalah x2 + y2 = 25

Garis yang melalui titik (7, 1) dengan gradien m, memiliki persamaan sebagai berikut :
y = mx – mx1 + y1
⇒ y = mx – 7m + 1
substitusikan nilai y = mx – 7m + 1 ke persamaan lingkaran x2 + y2 = 25 diperoleh
x2 + (mx – 7m + 1)2 = 25
⇔ x2 + m2x– 49m2 + 1 – 14m2x + 2m – 14 = 25
⇔ (1 + m2) x2 + (2m – 14m2) x + (–49m2 – 14m – 24) = 0

Selanjutnya adalah menentukan nilai diskriminan D = b2 – 4ac

D = (2m – 14m2)2 –4 (1 + m2) (49m2 – 14m – 24)
= 4m2 – 56m3 + 196m4 – 4 (49m2 – 14m – 24 + 49m4 – 14m3 – 24m2)
= 4m2 – 56mm3 + 1196m4 – 196m2 + 56m + 96 – 196m4 + 56m3 + 96m2
= 4m2 + 96m2 – 196m2 + 56m + 96
= –96m2 + 56m + 96

Syarat D = 0

–96m2 + 56m + 96 = 0
⇔ 96m2 – 56m – 96 = 0
⇔ 12m2 – 7m – 12 = 0
⇔ (4m + 3) (3m – 4) = 0
⇔ m = -34 atau m = -43

Sehingga diperoleh persamaan garis singgung =
3x – 4y – 25=0 atau 4x – 3y – 25 = 0

Itulah penjelasan mengenai Persamaan Lingkaran yang telah dirangkum beserta contoh soal dan penyelesaiannya. Semoga mudah dipahami dan bisa bermanfaat. Sampai Jumpa!

Baca juga: Materi Matematika lainnya di Studioliterasi.

Tidak ada komentar

Komentar untuk: Persamaan Lingkaran

    Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

    ARTIKEL TERBARU

    Saat belajar ilmu pengetahuan di sekolah pasti kalian pernah mempelajari sejarah dan materi diplomatik, bukan? Nah, tentunya kalian tidak asing lagi dengan berbagai materi konferensi-konferensi terkenal. Yap, salah satunya adalah Konferensi Asia Afrika (KAA).  Pertemuan besar ini tentu tanpa adanya tujuan,lho guys. Pelaksanaan ini tentu membawa hasil dan pengaruh yang besar terhadap perubahan dan stabilitas […]
    Indonesia merupakan bangsa yang besar dengan berbagai macam suku, ras, agama dari Sabang sampai Merauke. Bangsa lain juga mengenal Indonesia sebagai negara maritim atau kepulauan yang memiliki sumber daya alam yang melimpah. Tak hanya itu, berbagai flora dan fauna endemik telah menjadi ciri khas dari wilayah tertentu, telah melengkapi kekayaan alam bangsa kita. Dari besarnya sebuah […]

    Trending

    Salah satu cara untuk meningkatkan tingkat perekonomian suatu negara adalah dengan mendirikan badan usaha. Suatu negara dapat dikatakan maju apabila tingkat kesejahteraan masyarakat tinggi. Hal ini tentunya tidak kalah jauh dengan taraf ekonomi dan sosial yang baik. Pendekatan yang nyata untuk mewujudkannya adalah dengan melihat bagaimana perkembangan bahan usaha tersebut.  Kawan literasi, asal kalian tahu […]
    Berbicara mengenai fenomena alam. Salah satu fenomena yang indah untuk kita lihat adalah pelangi. Wah, sekarang kan lagi musim penghujan tuh, pasti kalian sering banget melihat pelangi setelah hujan reda? Mungkin dari kalian bertanya-tanya, bagaimana proses terjadinya pelangi? Apa yang membuat warnanya beragam dan terlihat indah di angkasa?  Nah, kalian nggak salah untuk membuka situs […]
    Pasca kemerdekaan Indonesia, Indonesia tidak sepenuhnya merdeka, lho. Masih ada upaya-upaya Belanda ingin menjajah dan menduduki negara Indonesia. Maka dari itu, para pemuda Indonesia tidak ingin hal tersebut terjadi. Sehingga, terbentuklah Konferensi Meja Bundar (KMB) atau dalam bahasa Belanda disebut dengan Nederlands-Indonesische ronde tafel conferentie. Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas lebih lanjut konferensi […]
    Awal mula munculnya bank sentral adalah pembangunan sebuah firma pada tahun 1690, saat itu kerajaan Inggris ingin membangun infrastruktur yang kuat untuk armada laut. Nah, tapi nyatanya tidak semudah itu lho guys. Pemerintahan Inggris tidak mempunyai pendanaan yang memadai untuk membangunnya. Selanjutnya, muncullah gagasan William Paterson yang kemudian direalisasikan oleh Charles Montagu yaitu membentuk sebuah […]