1. Kelas 11 Matematika

Persamaan Lingkaran

Pada Materi kali ini akan membahas mengenai persamaan lingkaran. Materi yang akan kita bahas meliputi konsep, bentuk umum, kedudukan titik terhadap lingkaran, kedudukan garis terhadap lingkaran, dan persamaan garis singgung lingkaran. Pada setiap sub bab juga akan membahas sifat-sifat yang ada, dan juga contoh beserta penyelesaiannya.

Untuk lebih lengkapnya silahkan pelajari penjelasan berikut :

Konsep Persamaan Lingkaran

Lingkaran adalah sebuah bangun datar yang sering kita gunakan sebagai alat bantu dalam menjelaskan ilmu pengetahuan lain maupun dalam berbagai penyelesaian masalah dalam kehidupan sehari-hari.

Pada bab ini akan dibahas tentang lingkaran dan beberapa hal dasar yang akan membantu kita untuk menemukan konsep tentang lingkaran itu sendiri.

Artikel Terkait

  • Keindahan Tata Busana Tari Pendet, Banyak Maknanya!
    by Amanda R Putri (Museum Nusantara – Info Wisata Sejarah Indonesia) on Mei 23, 2024 at 12:14 am

    Tari Pendet memang sudah identik dengan Bali dan sudah menjadi salah satu ciri khas. Tapi, pernah tidak kamu penasaran apa nama busana dari para penari Tari Pendet tersebut? Sini, Museum Nusantara akan membahasnya satu per satu dan lengkap melalui artikel ini! Jenis-Jenis Tari Pendet Ada 2 jenis Tari Pendet, yakni: Tari Pendet Penyambutan Biasanya sebagai The post Keindahan Tata Busana Tari Pendet, Banyak Maknanya! appeared first on Museum Nusantara - Info Wisata Sejarah Indonesia.

  • Tari Merak: Makna, Fungsi, Busana, dan Gerakan
    by Amanda R Putri (Museum Nusantara – Info Wisata Sejarah Indonesia) on Mei 10, 2024 at 10:44 am

    Tari Merak, tarian tradisional Indonesia yang asalnya dari Jawa Barat. Tarian ini terkenal dengan gerakannya yang anggun dan penuh makna, tetapi juga kostumnya yang indah. Mulai berkembang pada sekitar tahun 50-an, oleh seorang koreografer saat itu, Raden Tjetjep Soemantri. Eits, tarian ini sudah mendunia, lho! Bahkan, saat ini Tari Merak sudah masuk daftar UNESCO dengan The post Tari Merak: Makna, Fungsi, Busana, dan Gerakan appeared first on Museum Nusantara - Info Wisata Sejarah Indonesia.

  • Kitab Weda: Pedoman Utama Umat Hindu
    by Amanda Rayta (Studio Literasi) on Mei 10, 2024 at 12:32 am

    Kitab Weda adalah kitab suci utama yang menjadi pedoman hidup bagi umat Hindu, yang dipercaya berasal dari sekitar 1500-500 SM. Kata “Weda” berasal dari bahasa Sansekerta yang berarti “pengetahuan” atau “kebijaksanaan”. Pada kitab Weda isinya, mengenai doa, pujian, dan ajaran yang menjadi pedoman utama dalam bertindak. Selengkapnya, mengenai Kitab Weda bisa kamu baca penjelasannya dibawah Artikel Kitab Weda: Pedoman Utama Umat Hindu pertama kali tampil pada Studio Literasi.

  • 8 Cara Belajar Tenses dengan Mudah & Bikin Cepat Mengerti!
    by Amanda Rayta (Studio Literasi) on Mei 2, 2024 at 6:00 am

    Tenses masih menjadi penghambat utama saat belajar Bahasa Inggris. Pasalnya kita dituntut untuk menguasai berbagai jenis tenses dan masing-masing memiliki fungsinya berdasarkan waktu kamu melakukan kegiatan. Karena kalau salah, maka dapat mempengaruhi susunan atau lanjutan kalimat berikutnya.  Bahkan bisa terjadinya misscom lantaran hanya kesalahan dalam memakai tenses. Tapi tenang, sebenarnya masih ada beberapa cara mudah Artikel 8 Cara Belajar Tenses dengan Mudah & Bikin Cepat Mengerti! pertama kali tampil pada Studio Literasi.

Definisi

Persamaan lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik pada suatu bidang yang memiliki jarak sama terhadap sebuah titik tertentu.

Rumus Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran memiliki rumus yang harus kita ketahui, berikut diantaranya:

  • Rumus persamaan lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dengan jari-jari r

x2 + y2 = r2

Atau dengan kata lain, jika L adalah himpunan titik-titik yang berjarak r terhadap titik P(0, 0) maka L {(x, y) | x2 + y2 = r2}

Contoh soal:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) yang memiliki jari-jari sebagai berikut :

  1. 3        b. 4        c. 5        d. 6

Penyelesaian :

  1. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan jari-jari 3 adalah x2 + y2 = 32 ⇔ x2 + y2 = 9
  2. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan jari-jari 4 adalah x2 + y2 = 42 ⇔ x2 + y2 = 16
  3. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan jari-jari 5 adalah x2 + y2 = 52 ⇔ x2 + y2 = 25
  4. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan jari-jari 6 adalah x2 + y2 = 62x2 + y2 = 36
  • Rumus persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dengan jari-jari r

(x-a)2 + (y-b)2 = r2

Dengan kata lain, jika L adalah himpunan titik-titik yang berjarak r terhadap  titik P(a,b) maka L{(x, y) | (x – a)2 + (y – b)2 = r2}

Contoh soal:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (6, 6) dan memiliki jari-jari r = 6!

Penyelesaian :

(x – a)2 + (y – b)2=r2
a=6, b=6, c=6
⇔(x – 6)2 + (y – 6)2 = 62
⇔(x – 6)2 + (y – 6)2 = 36

Jadi persamaan lingkaran yang memiliki pusat di (6, 6) dan berjari-jari r = 6 adalah (x – 6)2 + (y – 6)2 = 36

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Pada pembahasan kali ini adalah lanjutan dari materi sebelumnya. Setelah kita mengetahui konsepnya, selanjutnya kita akan membahas mengenai bentuk umumnya.

Konsep persamaan yang sudah kita bahas sebelumnya yaitu :

  1. Lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan memiliki jari-jari r persamaannya adalah r2 + y2 = r2
  2. Lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan memiliki jari-jari r persamaannya adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2

Kedua bentuk tersebut dapat diketahui titik pusat lingkaran dan panjang jari-jarinya. Persamaan tersebut dinamakan bentuk baku persamaan lingkaran.

Bentuk umum persamaan lingkaran adalah :

x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0

 dengan titik pusat P (–A, –B) dan berjari-jari

penyelesaian contoh soal 1 hukum kirhchoff

dengan A, B, C bilangan real dan A2 + B2 ≥ C

Contoh soal 1:
Jabarkanlah persamaan berikut ini:
(x–a)2 + (y–b)2 = r2

Setelah itu, maka diperoleh persamaan a2 + b2 – r2 = C dengan –a = A ; –b = B. tentukan nilai r !

Penyelesaian :
Karena a2 + b2 – r2 = C dengan –a =A ; –b = B
maka r2 = A2 + B2 – C, atau

penyelesaian contoh soal 2 hukum kirhchoff

Contoh soal 2 :
Berdasarkan contoh sebelumnya diperoleh persamaan x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, ubahlah persamaan tersebut ke dalam persamaan bentuk baku !

Penyelesaian :

x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0
⇔ x2 + y2 + 2Ax + 2By = –C
⇔ (x2 + 2Ax + A2) – A2 + (y2 + 2By + B2) – B2 = –C
⇔ (x + A)2 + (y + B)2 = A2 + B2 = –C

penyelesaian contoh soal 3 hukum kirhchoff

Berdasarkan penyelesaian contoh 2 diperoleh bahwa persamaan

penyelesaian contoh soal 3 hukum kirhchoff

adalah lingkaran yang berpusat di titik P(–A, –B) dan berjari-jari

penyelesaian contoh soal 5 hukum kirhchoff

Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

Agar mudah dalam memahami materi, kami akan langsung berikan contoh masalah beserta penyelesaiannya.

Masalah 1 :

Masih ingatkah kamu masalah gunung Sinabung. Jika letak beberapa desa di koordinat kartesius dengan menganggap gunung Sinabung berada pada titik P(0, 0) dan memiliki jari jari 5 satuan. Tentukan kedudukan titik pada desa Sigaranggarang di titik (0, 5), desa Sukatepu di titik (5, 4), dan desa Bekerah di titik (2, –1) terhadap lingkaran yang dengan pusat (0, 0) dan jari-jari 5 satuan. Apakah penduduk desa-desa tersebut perlu mengungsi?

Penyelesaian:
Dari permasalahan diatas, maka persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 25

  • Untuk desa Sigaranggarang dengan titik (0, 5)

Substitusikan titik (0, 5) pada persamaan x2 + y2 = 25, periksalah titik tersebut terletak di dalam atau di luar lingkaran, lalu simpulkan apakah desa Sigaranggarang perlu mengungsi atau tidak.

  • Untuk desa Sukatepu dengan titik (5, 4)

Substitusikan titik (5, 4) pada persamaan lingkaran x2 + y2 = 25, periksalah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran, lalu simpulkan apakah desa Sukatepu perlu mengungsi atau tidak.

  • Untuk desa Bekerah dengan titik (2, -1)

Substitusikan titik (2, -1) pada persamaan lingkaran x2 + y2 = 25, periksalah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran, lalu simpulkan apakan desa Bekerah perlu mengungsi atau tidak.

Alternatif penyelesaian lain adalah dengan menggambar titik-titik letak desa di koordinat kartesius.

Gambar lingkaran dengan Pusat (0, 0) dan r = 5
Gambar lingkaran dengan Pusat (0, 0) dan r = 5 oleh Studioliterasi

Definisi:

  1. Jika suatu titik A(v, w) terletak di dalam lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r jika v2 + w2 < r2
  2. Suatu titik (v, w) terletak pada lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r jika v2 + w2 = r2
  3. Suatu titik A(v, w) terletak di luar lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r jika v2 + w2 > r2.

Masalah 2 :

Misalkan Gambar berikut menyajikan letak beberapa desa dengan menganggap gunung Sinabung berada pada titik P(3, 2) dan berjari-jari 5 satuan. Tentukan kedudukan titik pada desa Sukameriah, Simacem, dan desa ndeskati berdasarkan gambar di bawah ini! Apakah penduduk desa-desa tersebut perlu mengungsi?

Gambar Lingkaran dengan pusat P(3, 2) dan r = 5
Gambar Lingkaran dengan pusat P(3, 2) dan r = 5 oleh Studioliterasi

Penyelesaian:
Berdasarkan permasalahan yang ada, maka persamaan lingkarannya adalah (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25

  • Untuk desa Sukameriah dengan titik (0, –2)

Substitusikan titik (0, 5) pada persamaan lingkaran (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25, periksalah titik tersebut berada di dalam lingkaran atau di luar lingkaran, kemudian simpulkan apakah desa Sukameriah tersebut perlu mengungsi atau tidak.

  • Untuk desa Simacem dengan titik (6, 3)

Substitusikan titik (6, 3) pada persamaan lingkaran (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25, periksalah titik tersebut berada di dalam lingkaran atau di luar lingkaran, kemudian simpulkan apakah desa Simacem tersebut perlu mengungsi atau tidak.

  • Untuk desa Ndeskati dengan titik (9, 7)

Substitusikan titik (9, 7) pada persamaan lingkaran (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25 , periksalah titik tersebut berada di dalam lingkaran atau di luar lingkaran, kemudian simpulkan apakah desa Ndeskati tersebut perlu mengungsi atau tidak.

Definisi:

  1. Suatu titik  A(v, w) yang berada di dalam lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r jika (v – a)2 + (w – b)2 < r2
  2. Suatu titik A(v, w) yang berada pada lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r jika (v – a)2 + (w – b)2 = r2.
  3. Suatu titik A(v, w) yang berada di luar lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r jika (v – a)2 + (w – b)2 > r2.

Kedudukan  Garis Terhadap Lingkaran

Kedudukan garis terhadap lingkaran
Kedudukan garis terhadap lingkaran oleh Studioliterasi

(i) Sebuah garis yang memotong sebuah lingkaran pada dua titik yang berlainan
(ii) Sebuah garis yang memotong sebuah lingkaran pada suatu titik atau dengan kata lain menyinggung lingkaran
(iii) Sebuah garis yang tidak memotong sebuah lingkaran

Sifat Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Misalkan g garis dengan persamaan y=ax +b dan L lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = r2
Kedudukan garis g terhadap sebuah lingkaran ditentukan oleh nilai diskriminan D = (1 + a2) r2 – b2, yaitu:

  1. D > 0 ⇔ garis g memotong lingkaran di dua titik yang berlainan
  2. D = 0 ⇔ garis g menyinggung lingkaran
  3. D < 0 ⇔ garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Dalam materi ini juga akan membahas mengenai garis singgung. Ada 3 kondisi yang membedakan cara penyelesaiannya. Berikut ini penjelasan beserta contoh untuk mengetahui lebih lengkapnya :

  • Persamaan garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran yang berpusat P(0, 0) dan berjari-jari r

Sifat:
Persamaan pada garis singgung yang melalui titik (x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2 adalah x1x + y1y = r2

Contoh :
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran yang melalui titik (2, 0) dengan pusat P(0, 0) dan berjari-jari 3!

Penyelesaian :
Persamaan lingkaran dengan pusat P(0, 0)dan berjari-jari 3 adalah x2 + y2 = 9 yang melalui titik (2, 0) adalah

x1x + y1y = r2
⇔ xx1 + yy1 = 9
⇔ x(2) + y(0) = 9
⇔  2x – 9 = 0

Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari 3 adalah 2x – 9 = 0

  • Persamaan garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran yang berpusat P(a,b) dan berjari-jari r

Sifat:
Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 adalah (x – a) (x1 – q) + (y1 – b) = r2

Contoh:
Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran yang melalui titik (2, 4) dengan persamaan lingkaran (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5

Penyelesaian:
Persamaan garis singgung pada lingkaran (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5  yang melalui titik (2, 4) adalah sebagai berikut :

(x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2
⇔ (x – 1) (x1 – 1) + (y – 2) (y1 – 2) = 5
⇔ (x – 1) (2 – 1) + (y – 2) (4 – 2) = 5
⇔ (x – 1) 1 + (y – 2) 2 = 5
⇔  x – 1+ 2y – 4 = 5
⇔  x + 2y = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5 adalah x + 2y = 0

  • Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui sebuah titik di luar lingkaran

Contoh:
Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran yang memiliki pusat P(0, 0) dan berjari-jari 5 yang melalui titik (7, 1) !

Penyelesaian:
Titik (7, 1) berada di luar lingkaran x2 + y2 = 25, karena jika titik tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan lingkaran, maka diperoleh 72 + 12 = 50  > 25

Persamaan lingkaran dengan pusat P(0, 0) dan berjari-jari 5 adalah x2 + y2 = 25

Garis yang melalui titik (7, 1) dengan gradien m, memiliki persamaan sebagai berikut :
y = mx – mx1 + y1
⇒ y = mx – 7m + 1
substitusikan nilai y = mx – 7m + 1 ke persamaan lingkaran x2 + y2 = 25 diperoleh
x2 + (mx – 7m + 1)2 = 25
⇔ x2 + m2x– 49m2 + 1 – 14m2x + 2m – 14 = 25
⇔ (1 + m2) x2 + (2m – 14m2) x + (–49m2 – 14m – 24) = 0

Selanjutnya adalah menentukan nilai diskriminan D = b2 – 4ac

D = (2m – 14m2)2 –4 (1 + m2) (49m2 – 14m – 24)
= 4m2 – 56m3 + 196m4 – 4 (49m2 – 14m – 24 + 49m4 – 14m3 – 24m2)
= 4m2 – 56mm3 + 1196m4 – 196m2 + 56m + 96 – 196m4 + 56m3 + 96m2
= 4m2 + 96m2 – 196m2 + 56m + 96
= –96m2 + 56m + 96

Syarat D = 0

–96m2 + 56m + 96 = 0
⇔ 96m2 – 56m – 96 = 0
⇔ 12m2 – 7m – 12 = 0
⇔ (4m + 3) (3m – 4) = 0
⇔ m = -34 atau m = -43

Sehingga diperoleh persamaan garis singgung =
3x – 4y – 25=0 atau 4x – 3y – 25 = 0

Itulah penjelasan mengenai Persamaan Lingkaran yang telah dirangkum beserta contoh soal dan penyelesaiannya. Semoga mudah dipahami dan bisa bermanfaat. Sampai Jumpa!

Baca juga: Materi Matematika lainnya di Studioliterasi.

Tidak ada komentar

Komentar untuk: Persamaan Lingkaran

    Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

    ARTIKEL TERBARU

    Salah satu cara untuk meningkatkan tingkat perekonomian suatu negara adalah dengan mendirikan badan usaha. Suatu negara dapat dikatakan maju apabila tingkat kesejahteraan masyarakat tinggi. Hal ini tentunya tidak kalah jauh dengan taraf ekonomi dan sosial yang baik. Pendekatan yang nyata untuk mewujudkannya adalah dengan melihat bagaimana perkembangan bahan usaha tersebut.  Kawan literasi, asal kalian tahu […]
    Berbicara mengenai fenomena alam. Salah satu fenomena yang indah untuk kita lihat adalah pelangi. Wah, sekarang kan lagi musim penghujan tuh, pasti kalian sering banget melihat pelangi setelah hujan reda? Mungkin dari kalian bertanya-tanya, bagaimana proses terjadinya pelangi? Apa yang membuat warnanya beragam dan terlihat indah di angkasa?  Nah, kalian nggak salah untuk membuka situs […]

    Trending

    Antropologi ragawi menggunakan sudut pandang ilmunya dari aspek fisik dan biokultural manusia. Aspek-aspek tersebut juga meliputi biologi kesehatan dan kesejahteraan manusia. Dalam antropologi ragawi, pertama, manusia adalah organisme biologis, kemudian terlahir sebagai makhluk sosial. Yuk, kita pelajari lebih lengkap dalam ulasan berikut ini. Apa Itu Antropologi Ragawi? Antropologi ragawi fokus untuk mempelajari manusia serta primata […]
    Di sekolah, teman-teman tentu wajib mengenal sekaligus menguasai berbagai aplikasi penunjang dalam proses pembelajaran, seperti di antaranya Microsoft Word, Excel, dan PowerPoint. Berbagai program tersebut yang dinamakan aplikasi office atau aplikasi perkantoran. Sekarang, coba kita pelajari lebih lanjut, ya. Apa Itu Aplikasi Perkantoran? Aplikasi office atau aplikasi perkantoran adalah berbagai aplikasi yang fungsinya memudahkan pekerjaan […]
    Pernahkan kalian memperhatikan sebuah ulasan yang terkandung di dalam buku, musik, atau novel? Mengapa diharuskan ada sebuah ulasan? Ulasan tersebut sangat berguna untuk kemajuan sebuah karangan literasi atau sebuah karya. Tanpa adanya ulasan yang mendukung, maka kualitas kepenulisan buku, musik, atau novel tidak ada kemajuan. Berikut kami sampaikan pengertian teks ulasan, struktur, beserta contoh teks […]