Sobat Studioliterasi pasti sudah tidak asing dengan Trigonometri, terutama teman-teman kelas 10. Ya, Kali ini Studioliterasi akan membahas materi pelajaran Matematika kelas 10 ini.
Daftar Isi
Kira-kira apa sih sebenarnya Trigonometri itu? Lalu bagaimana rumusnya? Dan seperti apa contoh soalnya?
Yuk langsung simak pembahasan dibawah ini.
Pengertian Trigonometri
Trigonometri berasal dari kata dalam bahasa Yunani, yang terdiri dari trigonon artinya tiga sudut, dan metro artinya mengukur. Trigonometri merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari tentang hubungan antara sisi dan sudut segitiga serta fungsi dasar yang muncul dari relasi tersebut. Trigonometri berupa nilai perbandingan yang didefinisikan pada koordinat kartesius atau segitiga siku-siku.
Ukuran Sudut
Umumnya, ada dua jenis ukuran yang digunakan untuk menentukan besar suatu sudut, yaitu radian ( rad ) dan derajat ( ° ).
Artikel Terkait
- Ukuran Derajat
Besar sudut dalam satu putaran adalah 360°, maka 1° = 1/360 putaran. Terdapat dua ukuran sudut yang lebih kecil dari derajat, yaitu menit ( ‘ ) dan detik ( “ ).
Berikut merupakan hubungan ukuran sudut antara menit, detik, dan derajat :
1° = 60’ (enam puluh menit)
1’ = 60” (enam puluh detik)
- Ukuran Radian
Besar sudut yang dihasilkan dari perputaran sebesar jari-jari lingkaran.
- Hubungan antara ukuran derajat dan ukuran radian
Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku
Berdasarkan posisi sudut siku-siku dan sudut yang diketahui, ada tiga sisi unik dalam segitiga. Ketiga sisi tersebut adalah :
- Sisi yang berhadapan dengan sudut yang diketahui = sisi depan = b
- Sisi tempat menempelnya sudut siku-siku dan sudut yang diketahui = sisi samping = a
- Sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku = sisi miring = c
Panjang setiap sisi pada segitiga siku-siku memiliki hubungan yaitu c2 = a2 + b2
Berikut ini merupakan perbandingan dua sisi segitiga siku-siku beserta namanya dalam trigonometri :
Dari perbandingan tersebut dapat diperoleh hubungan rumus :
Contoh soal untuk Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku
Perhatikan gambar berikut!
Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 8, b = 6.
Tentukan :
- Panjang sisi c
- Nilai perbandingan trigonometri sudut 𝛼
Pembahasan :
Perbandingan Trigonometri untuk Sudut Istimewa (0°, 30°, 45°, 60°, 90°)
Berdasarkan gambar di atas dapat ditentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa tersebut dalam beberapa tabel sebagai berikut.
Tabel Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Pertama
Tabel Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Kedua
Contoh soal untuk Perbandingan Trigonometri pada Sudut Istimewa
Tentukan nilai dari :
- Cos 45° + Sec 45°
Pembahasan :
Relasi Sudut
Sudut Berelasi adalah perluasan definisi dasar dari trigonometri tentang kesebangunan pada segitiga siku-siku yang memenuhi untuk sudut kuadran I atau sudut lancip (0 – 90°). Pembagian sudut dalam satu putaran atau 360° terdiri dari empat bagian, yaitu :
- Kuadran I = 0°≤ 𝛼 ≤ 90°
- Kuadran II = 90°≤ 𝛼 ≤ 180°
- Kuadran III = 180°≤ 𝛼 ≤ 270°
- Kuadran IV = 270°≤ 𝛼 ≤ 360°
Tabel sudut berelasi pada kuadran I, II, III, IV.
| Kuadran I | Kuadran II | Kuadran III | Kuadran IV | |
| Sin α | Cos (90° – α) | Sin (180° – α) | –Sin (180° + α) | –Sin (360° – α) |
| Cos α | Sin (90° – α) | –Cos (180° – α) | –Cos (180° + α) | Cos (360° – α) |
| Tan α | Cotan (90° – α) | –Tan (180° – α) | Tan (180° + α) | –Tan (360° – α) |
| Cosec α | Sec (90° – α) | Cosec (180° – α) | –Cosec (180° + α) | –Cosec (360° – α) |
| Sec α | Cosec (90° – α) | –Sec (180° – α) | –Sec (180° + α) | Sec (360° – α) |
| Cotan α | Cotan (90° – α) | –Cotan (180° – α) | Cotan (180° + α) | –Cotan (360° – α) |
Tabel tanda-tanda perbandingan di kuadran I, II, III, IV.
| I | II | III | IV | |
| Sin | + | + | – | – |
| Cos | + | – | – | + |
| Tan | + | – | + | – |
| Csc | + | + | – | – |
| Sec | + | – | – | + |
| Cotg | + | – | + | – |
Contoh soal relasi sudut
Ubahlah sudut berikut kedalam perbandingan trigonometri sudut lancip!
- sin 12°
- cos 48°
- sec 235°
Pembahasan :
- sin 12° = sin (90° – 78°) = cos 78°
- cos 28° = cos (90° – 62°) = sin 62°
- sec 235° = sec (180° + 55°) = – sec 55°
Rumus Persamaan Trigonometri
Persamaan trigonometri yaitu persamaan yang didapat dari perbandingan antara sudut trigonometri dalam bentuk 𝑥. Cara menyelesaikannya yaitu dengan mencari seluruh nilai sudut-sudut 𝑥, sehingga persamaan tersebut bernilai benar untuk daerah asal tertentu. Berikut ini merupakan rumus penyelesaian persamaan ini.
- Sin 𝑥 = Sin 𝛼
𝑥1 = 𝛼 + k.360 atau 𝑥1 = 𝛼 + k.2 𝜋
𝑥2 = (180 – 𝛼) + k.360 atau 𝑥2 = ( – 𝛼) + k.2 𝜋
- Cos 𝑥 = Cos 𝛼
𝑥1 = 𝛼 + k.360 atau 𝑥1 = 𝛼 + k.2 𝜋
𝑥2 = – 𝛼 + k.360 atau 𝑥2 = – 𝛼 + k.2 𝜋
- Tan 𝑥 = Tan 𝛼
𝑥1 = 𝛼 + k.180 atau 𝑥1 = 𝛼 + k.𝜋
Contoh soal persamaan trigonometri
Tentukan himpunan penyelesaian dari cos 𝑥 = cos 120°, 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°
Pembahasan:
𝑥 = 120° + k x 360°, ⟺ k = 0 maka 𝑥 = 120°
atau
𝑥 = -120° + k x 360°, ⟺ k = 1 maka 𝑥 = -120° + 360° = 240°
Himpunan penyelesain = {120°, 240°}.
Rumus Identitas Trigonometri
Identitas trigonometri merupakan hubungan suatu fungsi dengan fungsi trigonometri lainnya. Berikut ini merupakan rumus dasarnya.
- Sin² 𝛼 + Cos² 𝛼 = 1
Sin2 𝛼 = 1 – Cos2𝛼
Cos2 𝛼 = 1 – Sin2 𝛼
- 1 + Cot² 𝛼 = Cosec² 𝛼
1 = Cosec2 𝛼 – cot2 𝛼
Cot2 𝛼 = Cosec2 𝛼 – 1
- Tan² 𝛼 + 1 = Sec² 𝛼
1 = Sec2 𝛼 – Tan2 𝛼
Tan2 𝛼 = Sec2 𝛼 – 1
Contoh soal identitas trigonometri
Buktikan bahwa 2 tan2x + 3 = 2 sec2x +1
Pembahasan :
2 tan2x + 3 = 2 (sec2x – 1) + 3
= 2 sec2x – 2 + 3
= 2 sec2x +1
Bagaimana sobat studioliterasi? Apakah kalian sudah cukup paham dengan materi tentang kali ini? Semoga penjelasan singkat ini bermanfaat ya! Cheers!
Tidak ada komentar