Trigonometri

Sobat Studioliterasi pasti sudah tidak asing dengan Trigonometri, terutama teman-teman kelas 10. Ya, Kali ini Studioliterasi akan membahas materi pelajaran Matematika kelas 10 ini. 

Kira-kira apa sih sebenarnya Trigonometri itu? Lalu bagaimana rumusnya? Dan seperti apa contoh soalnya?

Yuk langsung simak pembahasan dibawah ini.

Pengertian Trigonometri

Trigonometri berasal dari kata dalam bahasa Yunani, yang terdiri dari trigonon artinya tiga sudut, dan metro artinya mengukur. Trigonometri merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari tentang hubungan antara sisi dan sudut segitiga serta fungsi dasar yang muncul dari relasi tersebut. Trigonometri berupa nilai perbandingan yang didefinisikan pada koordinat kartesius atau segitiga siku-siku.

Ukuran Sudut

Umumnya, ada dua jenis ukuran yang digunakan untuk menentukan besar suatu sudut, yaitu radian ( rad ) dan derajat ( ° ). 

1. Ukuran Derajat 

Besar sudut dalam satu putaran adalah 360°, maka 1° = 1/360 putaran. Terdapat dua ukuran sudut yang lebih kecil dari derajat, yaitu menit ( ‘ ) dan detik ( “ ).

Berikut merupakan hubungan ukuran sudut antara menit, detik, dan derajat :

1° = 60’ (enam puluh menit)

1’ = 60” (enam puluh detik)

2. Ukuran Radian

Besar sudut yang dihasilkan dari perputaran sebesar jari-jari lingkaran.

3. Hubungan antara ukuran derajat dan ukuran radian

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku

Berdasarkan posisi sudut siku-siku dan sudut yang diketahui, ada tiga sisi unik dalam segitiga. Ketiga sisi tersebut adalah :

1. Sisi yang berhadapan dengan sudut yang diketahui = sisi depan = b
2. Sisi tempat menempelnya sudut siku-siku dan sudut yang diketahui = sisi samping = a
3. Sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku = sisi miring = c

Panjang setiap sisi pada segitiga siku-siku memiliki hubungan yaitu c² = a² + b²

Berikut ini merupakan perbandingan dua sisi segitiga siku-siku beserta namanya dalam trigonometri :

Dari perbandingan tersebut dapat diperoleh hubungan rumus :

Contoh soal untuk Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku

Perhatikan gambar berikut!

Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 8, b = 6.

Tentukan :

1. Panjang sisi c
2. Nilai perbandingan trigonometri sudut 𝛼

Pembahasan :

Perbandingan Trigonometri untuk Sudut Istimewa (0°, 30°, 45°, 60°, 90°)

Berdasarkan gambar di atas dapat ditentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa tersebut dalam beberapa tabel sebagai berikut.

Tabel Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Pertama

Tabel Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Kedua

Contoh soal untuk Perbandingan Trigonometri pada Sudut Istimewa

Tentukan nilai dari :

1. Cos 45° + Sec 45°
   
2. 

Pembahasan :

Relasi Sudut

Sudut Berelasi adalah perluasan definisi dasar dari trigonometri tentang kesebangunan pada segitiga siku-siku yang memenuhi untuk sudut kuadran I atau sudut lancip (0 – 90°). Pembagian sudut dalam satu putaran atau 360° terdiri dari empat bagian, yaitu :

1. Kuadran I = 0°≤ 𝛼 ≤ 90°
2. Kuadran II = 90°≤ 𝛼 ≤ 180°
3. Kuadran III = 180°≤ 𝛼 ≤ 270°
4. Kuadran IV = 270°≤ 𝛼 ≤ 360°

Tabel sudut berelasi pada kuadran I, II, III, IV.

	Kuadran I	Kuadran II	Kuadran III	Kuadran IV
Sin α	Cos (90° – α)	Sin (180° – α)	–Sin (180° + α)	–Sin (360° – α)
Cos α	Sin (90° – α)	–Cos (180° – α)	–Cos (180° + α)	Cos (360° – α)
Tan α	Cotan (90° – α)	–Tan (180° – α)	Tan (180° + α)	–Tan (360° – α)
Cosec α	Sec (90° – α)	Cosec (180° – α)	–Cosec (180° + α)	–Cosec (360° – α)
Sec α	Cosec (90° – α)	–Sec (180° – α)	–Sec (180° + α)	Sec (360° – α)
Cotan α	Cotan (90° – α)	–Cotan (180° – α)	Cotan (180° + α)	–Cotan (360° – α)

Tabel tanda-tanda perbandingan di kuadran I, II, III, IV.

	I	II	III	IV
Sin	+	+	–	–
Cos	+	–	–	+
Tan	+	–	+	–
Csc	+	+	–	–
Sec	+	–	–	+
Cotg	+	–	+	–

Contoh soal relasi sudut

Ubahlah sudut berikut kedalam perbandingan trigonometri sudut lancip!

1. sin 12° 
2. cos 48°
3. sec 235°

Pembahasan :

1. sin 12°  = sin (90° – 78°) = cos 78°
2. cos 28° = cos (90° – 62°) = sin 62°
3. sec 235° = sec (180° + 55°) = – sec 55°

Rumus Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri yaitu persamaan yang didapat dari perbandingan antara sudut trigonometri dalam bentuk 𝑥. Cara menyelesaikannya yaitu dengan mencari seluruh nilai sudut-sudut 𝑥, sehingga persamaan tersebut bernilai benar untuk daerah asal tertentu. Berikut ini merupakan rumus penyelesaian persamaan ini.

1. Sin 𝑥 = Sin 𝛼

𝑥₁ = 𝛼 + k.360                atau       𝑥₁ = 𝛼 + k.2 𝜋

𝑥₂ = (180 – 𝛼) + k.360  atau      𝑥₂ = ( – 𝛼) + k.2 𝜋

2. Cos 𝑥 = Cos 𝛼

𝑥₁ = 𝛼 + k.360 atau   𝑥₁ = 𝛼 + k.2 𝜋

𝑥₂ = – 𝛼 + k.360 atau   𝑥₂ = – 𝛼 + k.2 𝜋

3. Tan 𝑥 = Tan 𝛼

𝑥₁ = 𝛼 + k.180 atau   𝑥₁ = 𝛼 + k.𝜋

Contoh soal persamaan trigonometri

Tentukan himpunan penyelesaian dari cos 𝑥 = cos 120°, 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°

Pembahasan:

𝑥 =  120° + k x 360°, ⟺ k = 0 maka 𝑥 = 120°

atau

𝑥 = -120° + k x 360°, ⟺ k = 1 maka 𝑥 = -120° + 360° = 240°

Himpunan penyelesain = {120°, 240°}.

Rumus Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri merupakan hubungan suatu fungsi dengan fungsi trigonometri lainnya. Berikut ini merupakan rumus dasarnya.

1. Sin² 𝛼 + Cos² 𝛼 = 1

Sin² 𝛼 = 1 – Cos²𝛼

Cos² 𝛼 = 1 – Sin² 𝛼

2. 1 + Cot² 𝛼 = Cosec² 𝛼

1 = Cosec² 𝛼 – cot² 𝛼

 Cot² 𝛼 = Cosec² 𝛼 – 1

3. Tan² 𝛼 + 1 = Sec² 𝛼

1 = Sec² 𝛼 – Tan² 𝛼

Tan² 𝛼 = Sec² 𝛼 – 1

Contoh soal identitas trigonometri

Buktikan bahwa 2 tan²x + 3 = 2 sec²x +1

Pembahasan :

2 tan²x + 3 = 2 (sec²x – 1) + 3

= 2 sec²x – 2 + 3

= 2 sec²x +1

Bagaimana sobat studioliterasi? Apakah kalian sudah cukup paham dengan materi tentang kali ini? Semoga penjelasan singkat ini bermanfaat ya! Cheers!